Floyd算法

问题的提出：已知一个有向网(或者无向网)，对每一对定点vi!=vj，要求求出vi与vj之间的最短路径和最短路径的长度。

解决该问题有以下两种方法：

(1)轮流以每一个定点为源点，重复执行Dijkstra算法或者Bellman-Ford算法n次，就可以求出每一对顶点之间的最短路径和最短路径的长度，总的时间复杂度为O(n^3)。

(2)采用Floyd算法，时间复杂度也是O(n^3)，但是形式更为直接。

1.介绍

floyd算法只有五行代码，代码简单，三个for循环就可以解决问题，所以它的时间复杂度为O(n^3)，可以求多源最短路问题。

2.思想：

Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。所以，我们假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB)

举个例子：已知下图，

如现在只允许经过1号顶点，求任意两点之间的最短路程，只需判断e[i][1]+e[1][j]是否比e[i][j]要小即可。e[i][j]表示的是从i号顶点到j号顶点之间的路程。e[i][1]+e[1][j]表示的是从i号顶点先到1号顶点，再从1号顶点到j号顶点的路程之和。其中i是1~n循环，j也是1~n循环，代码实现如下。

1 for(i=1; i<=n; i++)2 {3 for(j=1; j<=n; j++)4 {5 if ( e[i][j] > e[i][1]+e[1][j] )6 e[i][j] = e[i][1]+e[1][j];7 }8 }

接下来继续求在只允许经过1和2号两个顶点的情况下任意两点之间的最短路程。在只允许经过1号顶点时任意两点的最短路程的结果下，再判断如果经过2号顶点是否可以使得i号顶点到j号顶点之间的路程变得更短。即判断e[i][2]+e[2][j]是否比e[i][j]要小，代码实现为如下。

1 //经过1号顶点

2 for(i=1; i<=n; i++)3 for(j=1; j<=n; j++)4 if (e[i][j] > e[i][1]+e[1][j])5 e[i][j]=e[i][1]+e[1][j];6 //经过2号顶点

7 for(i=1; i<=n; i++)8 for(j=1; j<=n; j++)9 if (e[i][j] > e[i][2]+e[2][j])10 e[i][j]=e[i][2]+e[2][j];

最后允许通过所有顶点作为中转，代码如下：

1 for(k=1; k<=n; k++)///Floyd-Warshall算法核心语句

2 {3 for(i=1; i<=n; i++)4 {5 for(j=1; j<=n; j++)6 {7 if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] )8 {9 map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];10 }11 }12 }13 }

这段代码的基本思想就是：最开始只允许经过1号顶点进行中转，接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……允许经过1~n号所有顶点进行中转，求任意两点之间的最短路程。与上面相同

3.代码模板：

1 #include

2 #define inf 0x3f3f3f3f

3 int map[1000][1000];4 intmain()5 {6 int k,i,j,n,m;///n表示顶点个数，m表示边的条数

7 scanf("%d %d",&n,&m);8 for(i=1; i<=n; i++)///初始化

9 {10 for(j=1; j<=n; j++)11 {12 if(i==j)13 map[i][j]=0;14 else

15 map[i][j]=inf;16 }17 }18 inta,b,c;19 for(i=1; i<=m; i++)///有向图

20 {21 scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);22 map[a][b]=c;23 }24 for(k=1; k<=n; k++)///Floyd-Warshall算法核心语句

25 {26 for(i=1; i<=n; i++)27 {28 for(j=1; j<=n; j++)29 {30 if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] )31 {32 map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];33 }34 }35 }36 }37 for(i=1; i<=n; i++)///输出最终的结果,最终二维数组中存的即使两点之间的最短距离

38 {39 for(j=1; j<=n; j++)40 {41 printf("%10d",map[i][j]);42 }43 printf("\n");44 }45 return 0;46 }