简述

什么是二叉树

下面的这棵树，就是二叉搜索树

相对于什么最优

这里考虑的是ASL（average search length）平均搜索长度。即根据概率来生成ASL最小的搜索树。

到这里，最优二叉搜索树的概念就已经清楚了。

解决方法

如果是递归来搜索也是可以的，但是很明显需要做很多的重复的计算。
为了解决这个问题，所以我们采用动态规划来做，很明显，这样能降低计算的复杂度。

处理方法：动态规划

在非叶节点上时候，为特定的数值，在叶子节点上时候，是一个区间（这里不懂可以再看上面的图）

显然，我们需要先用递归的方式来理解一下这个问题。

w[i][j] = a[i-1] + b[i] +.. + b[j] + a[j]
其中，a[i]表示的是第i个区间的概率，b[i]表示的是第i个节点的概率
w[i][i] = a[i-1] + b[i] + a[i] 这不就是一个只有一个非叶子节点的二叉树么？
如果是只有一个非叶子节点的二叉搜索树的话：我们这里很好求
进行扩展：我们现在只考虑这么的一棵树，中间点为具体数值，那么就是非叶子节点。然后根据这个节点(设为节点k)的进行推理ASL[i][j] = b[k] * 1 + (ASL_Left_tree + 1) * W[i][k-1] + (ASL_Right_tree + 1) * W[k+1][j]
注意到，中间有部分可以提出来，得到ASL[i][j] = W[i][j] + (ASL_Left_tree ) * W[i][k-1] + (ASL_Right_tree ) * W[k+1][j] （这里W[i][j] = 1）
但是我们这里其实考虑的整棵数，对于更一般的，我们要考虑一个树的一部分。
ASL[i][j] = 1 + (ASL_Left_tree ) * W[i][k-1] + (ASL_Right_tree ) * W[k+1][j] 这是上面的整理。下面再接着推理。
W[i][j] * ASL[i][j] = W[i][j] + (ASL_Left_tree ) * W[i][k-1] + (ASL_Right_tree ) * W[k+1][j] 注意，这里的W[i][j]都是在全局的树上算的，因为这时候把左边的W[i][j] 就类似的得到的我们想要的条件概率下是计算算法。
做类似的变换很容易发现，所谓左树和右树也是可以用i,j来表示的。然后，就得到一个很重要的递推公式
W[i][j] * ASL[i][j] = W[i][j] + ASL[i][k-1] * W[i][k-1] + ASL[k+1][j] * W[k+1][j] 但是我们注意到这里的 w[i][j] * ASL[i][j] 其实可以作为一个整体来计算的。这里就设置为M[i][j]
所以公式变为了m[i][j] = w[i][j] + m[i][k-1] + m[k+1][j]。注意到，我们这里是假设了采用的是以第k个点作为分割点来构建子树的。但是实际上这个最优的究竟该怎么搞，肯定是需要遍历所有的可能的k来得到结果的。
所以，其实m[i][j] = w[i][j] + min(m[i][k-1] + m[k+1][j])。但是我们这里需要注意到，我们想要的整棵数的ASL其实就是m[1][N]，而此时的概率为1了，所以得到的相等。

边界条件讨论：

w[i+1][i] 这种情况究竟是算什么呢？我们这里设置为a[i]
m[i+1][i]这种情况呢？我们令它为0。这样，我们在利用上面的公式推理出来的结果的时候，就得到了m[i][i] = w[i][i]。
至于它为0，其实很好证明，由于在ASL[i+1][i]肯定要是0才对的。

程序实现细节

主要是注意一下，实现的时候，如何安排数据。建议的话，将b的那个数组前面空出一个来，这样的话，就不需要修改太多的公式。
原因如下：

w[i][j] = a[i-1] + b[i] +.. + b[j] + a[j]
为了避免程序实现的时候越界。（否则就需要修改公式了，这里先可以先完成之后，再考虑优化的问题）

看到这，如果你有去手动实现的话，你会意识到另外一个问题。这个可行的k究竟是什么？

由于我们之前已经谈到了设置了时候，我们讲b的那个数组第一个位置放空，那么来说i和j都是从1开始遍历起的，终止当然就是以N作为终止点。
知道上面的这些之后，我们就很容易理清了，我们尝试将i到j上的所有节点

C++代码

注释部分写好了详细的代码说明~
main函数开始部分是自动生成数据来进行测试

#include <iostream>
using namespace std;
#include <string>
#define N 15int S[N];
double b[N + 1];
double a[N + 1];
// w[i][j] 表示i,j段的概率
//
double w[N + 2][N + 2];
// w[i][j] = a[i-1] + b[i] +...+b[j] + a[j]
double m[N + 2][N + 2];
int divided_point[N + 1][N + 1];
string getAns(int begin, int end);
int main() {double sum = 0;for (int i = 0; i < N; ++i) {S[i] = 2 * i + 1;b[i+1] = 0.6 / (N+1);a[i] = 0.4 / (N+1);sum += (a[i] + b[i+1]);}b[0] = 0;a[N] = 1 - sum;/*for (int i = 0; i < N; ++i) {S[i] = 2 * i + 1;a[i + 1] = 0.04;b[i + 1] = 0.06;}a[0] = 0.1;b[0] = 0;*/// 初始化for (int i = 0; i <= N; ++i) {w[i + 1][i] = a[i];m[i + 1][i] = 0;// ASL[i][i-1]为0！}// r表示的是长度for (int r = 0; r < N; ++r)for (int i = 1; i <= N-r; i++) {// i表示的是起始点int j = i + r; // j表示的是终点// 由w[i][j]构造函数很容易得到w[i][j] = w[i][j - 1] + a[j] + b[j];m[i][j] = m[i + 1][j]; // 因为m[i][i-1]为0divided_point[i][j] = i;// 中间划分点设为b[i] k为滑动的移动点for (int k = i + 1; k <= j; k++) {double t = m[i][k - 1] + m[k + 1][j];if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; divided_point[i][j] = k;}}m[i][j] += w[i][j];}cout << m[1][N] << " " << w[1][N] << endl;system("pause");
}

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