【Nowcoder - 5670 B Graph】2020 牛客暑期多校训练营（第五场）【最小异或生成树、Boruvka 思想】

前言

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题意

给定一颗 nnn 个点的树，每条边的权重为 wiw_iwi。(2≤n≤105,0≤wi<230)(2\leq n\leq 10^5,0\leq w_i< 2^{30})(2≤n≤105,0≤wi<230)

可以任意删除一些边或者增加一些边，但是在删增过程中必须保证图连通并且任意一个环的异或和为 000。

在此基础上，求最小生成树。

题目链接：linklinklink

思路

观察题目要求，删增过程中保证图连通且任意一个环的异或和为 000，所以其实 (u,v)(u,v)(u,v) 边的权重是已经确定的，即两点之间边的异或和。

确定完边权后，问题就转换为了对于一个 nnn 个点的完全图，求最小生成树。

为了解决这个问题，我们先了解一下 BoruvkaBoruvkaBoruvka 算法：linklinklink

BoruvkaBoruvkaBoruvka 算法主要针对这些问题：nnn 个点，每个点有点权，任意两个点之间有边权，边权为两个点权用某种计算方式得出，求最小生成树。

对于这些问题，我们通常用 O(log(n))O(log(n))O(log(n)) 的时间找到与点 iii 连边的边权最小的 jjj，具体生成树算法如下：

考虑维护当前的连通块（初始每个点为独立的一个连通块）

对每个连通块，找到一条与该连通块相连的，且另一端点不在此连通块中的边权最小的边

将所有的这些边都加入最小生成树，注意，当加入一条边时需判断该边的两端点是否在同一连通块

重复若干遍上述操作，直到图连通

上述算法即为 BoruvkaBoruvkaBoruvka 算法，每次操作完，连通块个数至少减半，则复杂度为 O((n+m)log(n))O((n+m)log(n))O((n+m)log(n))（并查集复杂度为常数）

在本题中，我们可以先以 111 为起点，求出 111 号点到每一个点的异或和 d[i]d[i]d[i]，任意两点 u,vu,vu,v 的边权即为 d[u]xord[v]d[u]\ xor\ d[v]d[u] xor d[v]。因此题目转换成，每一个点都有一个权值 d[i]d[i]d[i]，任意一条边 (u,v)(u,v)(u,v) 的边权为 d[u]xord[v]d[u] \ xor \ d[v]d[u] xor d[v]，求最小生成树。

这个问题即为最小异或生成树问题，可以采用 BoruvkaBoruvkaBoruvka 思想来解决。

首先，由于涉及到了异或，因此引入字典树是非常常见的操作。我们将每一个点的权值从高位到低位依次插入字典树中，然后遍历字典树求答案。对于字典树节点 xxx，当前深度为 stepstepstep，我们令其 000 号儿子为 lxlxlx，111 号儿子为 rxrxrx。

若 lxlxlx 与 rxrxrx 只有一个存在，则一定不存在一条边，其边权中包含 1<<step1<<step1<<step，即继续往下递归即可。

若 lxlxlx 与 rxrxrx 均存在，则一定存在一条边，连接左右两部分，即边权中包含 1<<step1<<step1<<step，因此我们还需要从 lxlxlx 和 rxrxrx 中分别找到一个数字，使其异或值最小。此处可以直接采用贪心的思想，尽可能令每一位的数相同，贪心向下搜索，平均复杂度为 O(log(n))O(log(n))O(log(n))，具体过程见下述代码。

因此本题总复杂度为遍历字典树 +++ 每个节点找最小值，即 O(nlog2(n))O(nlog^2(n))O(nlog2(n))。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
typedef long long ll;
const int N = 3e6+10;
using namespace std;int n, tot, trie[N][3];
ll d[N];
vector<pair<int, ll> > G[N];void dfs1(int x, int fa) {for(auto it:G[x]) {int y = it.first;ll w = it.second;if(y == fa) continue;d[y] = d[x]^w;dfs1(y,x);}
}void insert(ll w) {int cur = 0;for(int i = 30; i >= 0; i--) {int v = ((w&(1<<i)) > 0);if(!trie[cur][v]) trie[cur][v] = ++tot;cur = trie[cur][v];       }
}ll find(int x, int y, int step) {if(step < 0) return 0;int lx = trie[x][0], rx = trie[x][1];int ly = trie[y][0], ry = trie[y][1];ll minn = 1e15;if(lx) {if(ly) minn = min(minn, find(lx, ly, step-1));else minn = min(minn, find(lx, ry, step-1) + (1<<step));}if(rx) {if(ry) minn = min(minn, find(rx, ry, step-1));else minn = min(minn, find(rx, ly, step-1) + (1<<step));}return minn;
}ll dfs2(int cur, int step) {int ls = trie[cur][0], rs = trie[cur][1];ll ans = 0;if(ls && rs) ans += find(ls, rs, step-1) + (1<<step);if(ls) ans += dfs2(ls, step-1);if(rs) ans += dfs2(rs, step-1);return ans;
}int main()
{scanf("%d",&n);rep(i,1,n-1) {int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);G[u].push_back({v,w});G[v].push_back({u,w});}dfs1(0, -1);rep(i,0,n-1) insert(d[i]);printf("%lld\n", dfs2(0, 30));return 0;
}

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