剑指Offer #10 矩形覆盖（问题分析）

题目来源：牛客网-剑指Offer专题
题目地址：矩形覆盖

题目描述

我们可以用2∗12*12∗1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2∗12*12∗1的小矩形无重叠地覆盖一个2∗n2*n2∗n的大矩形，总共有多少种方法？

比如n=3时，2∗32*32∗3的矩形块有3种覆盖方法：

题目解析

其实这类题目，如果实在不知道怎么下手，都不妨先考虑枚举，将前面小的数先枚举出来，然后再猜测规律是什么。一般可以考虑的式子有 2n−12^{n-1}2n−1 、斐波那契数列、n相关的多项式、组合数、卡特兰数、欧拉函数……

这看这道题，我们先把 nnn 比较小的情况先枚举出来，如下表所示：

n	1	2	3	4	5	6	…
result	1	2	3	5	8	13	…

看，不骗你们吧！这不是斐波那契数列吗？我不是坑你们，只是在实在无从下手的时候给你们提供一种思路，别动不动就写什么搜索去枚举这些情况……

下面是正解时间：

参考了讨论区中Follow大佬的讲解思路，假设我们有一个 2∗n2*n2∗n 的大矩形，当 n=in=in=i时的方法有 f(i)f(i)f(i) 种，我们先考虑第一个 2∗12*12∗1 小矩形的摆法。有下面两种情况：

情况一：如下图竖着摆放，那么剩下的矩形就形成了一个 2∗(n−1)2*(n-1)2∗(n−1) 的大矩形，所以这种情况下的覆盖方法有 f(n−1)f(n-1)f(n−1) 种。

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情况二：如下图横着摆放，为了把它下方的空间覆盖，第二个 2∗12*12∗1 小矩形也必须横着摆在它的下方，，那么剩下的矩形就形成了一个 2∗(n−2)2*(n-2)2∗(n−2) 的大矩形，所以这种情况下的覆盖方法有 f(n−2)f(n-2)f(n−2) 种。

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于是，我们就可以知道 f(n)=f(n−1)+f(n−2)f(n)=f(n-1) + f(n-2)f(n)=f(n−1)+f(n−2)，再结合 n−2≤0n-2 \leq0n−2≤0 的情况，我们就可以得到以下的递推式啦~

f(n)={1,n=12,n=2f(n−1)+f(n−2),n>2f(n)= \begin{cases} 1&, \text{n=1} \\ 2 &,\text{n=2} \\ f(n-1) + f(n-2) &,\text{n>2} \end{cases} f(n)=⎩⎪⎨⎪⎧12f(n−1)+f(n−2),n=1,n=2,n>2

这个递推式看烂了，这里就简单写常用的两种实现方式，详情可以参考上篇博客解法：斐波那契数列（四种解法）。

方法一：
面试别写型递推版实现，时间复杂度 O(2n)O(2^n)O(2n)。

public class Solution {public int RectCover(int n) {if (n < 3) {return n;}return RectCover(n - 1) + RectCover(n - 2);}
}

方法二：
面试推荐型，自底向上型循环求解，时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)。

public class Solution {public int RectCover(int n) {if (n == 0) return 0;int a = 1, b = 1;for (int i = 1; i < n; i++) {a = a + b;b = a - b;}return a;}
}

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