文章目录

第四章时变电磁场
- 波动方程
- - 问题的提出：
  - 无源区的波动方程
- 电磁场的位函数
- - 位函数的定义
  - 位函数的不确定性
  - 位函数的规范条件
  - 位函数的微分方程
- 电磁能量守恒定理
- 唯一性定理
- 时谐电磁场

第四章时变电磁场

波动方程

问题的提出：

麦克斯韦方程—一阶矢量微分方程组，描述电场和磁场间的相互作用关系
波动方程—二阶矢量微分方程
麦克斯韦方程组===>波动方程

无源区的波动方程

在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有
∇2E⃗−με∂2E⃗∂t2=0\nabla^2\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=0∇2E−με∂t2∂2E=0
∇2H⃗−με∂2H⃗∂t2=0\nabla^2\vec{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2}=0∇2H−με∂t2∂2H=0
电磁波动方程

电磁场的位函数

引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化

位函数的定义

∇⋅B⃗=0\nabla \cdot \vec{B}=0∇⋅B=0 => B⃗=∇×A⃗\vec{B}=\nabla \times\vec{A}B=∇×A => A⃗\vec{A}A定义为矢量位
∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}∇×E=−∂t∂B=>∇×(E⃗+∂A⃗∂t)=0\nabla\times(\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t})=0∇×(E+∂t∂A)=0 => E⃗+∂A⃗∂t=−∇φ\vec{E}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}=-\nabla\varphiE+∂t∂A=−∇φ为标量位
E⃗=−∂A⃗∂t−∇φ\vec{E}=-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \varphiE=−∂t∂A−∇φ

位函数的不确定性

满足下列变换关系的两组位函数(A⃗\vec{A}A、φ\varphiφ)和(A⃗′\vec{A}\primeA′、φ′\varphi\primeφ′)能描述同一个电磁场问题。
{A⃗′=A⃗+∇ψφ′=φ−∂ψ∂t（ψ为任意可微函数）\begin{cases} {\vec{A}\prime=\vec{A}+\nabla\psi}\\ {\varphi\prime=\varphi-\frac{\partial \psi}{\partial t}} \end{cases}（\psi为任意可微函数）{A′=A+∇ψφ′=φ−∂t∂ψ（ψ为任意可微函数）

位函数的规范条件

造成位函数的不确定性的原因就是没有规定A⃗\vec{A}A的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定A⃗\vec{A}A的散度使位函数满足的方程得以简化。
洛仑兹条件：
∇⋅A⃗+με∂φ∂t=0\nabla\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0∇⋅A+με∂t∂φ=0
库仑条件
∇⋅A⃗=0\nabla\cdot\vec{A}=0∇⋅A=0

位函数的微分方程

电磁能量守恒定理

唯一性定理

时谐电磁场

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电磁场与电磁波第四章时变电磁场

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