走近分形与混沌(part11)--一个新概念、新理论的诞生往往伴随着新常数的出现

学习笔记
学习书目：《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》-张天蓉；

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倍周期分岔
费根鲍姆常数

倍周期分岔

罗伯特·梅，将混沌魔鬼的诞生归结为系统周期性的一次又一次突变。或者，用一个更学术化的术语来说，叫做倍周期分岔现象。下图就是从逻辑斯蒂方程中，产生的倍周期分岔现象：

周期分岔现象除了有自相似性的特征，还有一个重要的特性：普适性。

除了生物群体数的变化之外，倍周期分岔现象还存在于其他很多非线性系统中。系统的参数变化时，系统的状态数越来越多，返回某一状态的周期加倍又加倍，最后从有序走向混沌。比如物理学中原来认为最简单的单摆，也暗藏着混沌魔鬼，当外力加大时，新的频率分量不断出现，摆动周期不断地加长，最后过渡到混沌。

到处都有倍周期分岔，以及接踵而至的混沌魔鬼，这是普适性的定性方面。普适性的另一个方面——定量方面，则与分岔的速度有关。

费根鲍姆常数

切尔·费根鲍姆（1944— ）是美国数学物理学家。

费根鲍姆平时喜欢写点小程序，用计算来验证物理猜想。早在十几年前的大学时代，首次使用电脑时，他就在一小时之内写出了一个用牛顿法开方的程序。这次，费根鲍姆感兴趣的是逻辑斯蒂分岔图中出现得越来越多的那些三岔路口：

他用计算器编程序算出每个三岔路口的坐标，即k值和相应的x_无穷值.

费根鲍姆注意到随着k的增大，三岔路口到来得越来越快，越来越密集。从第一个三岔口k1开始：k1＝3k1＝3k1＝3，k2＝3.44948697k2＝3.44948697k2＝3.44948697, k3＝3.5440903k3＝3.5440903k3＝3.5440903，k4＝3.5644073k4＝3.5644073k4＝3.5644073，k5＝3.5687594k5＝3.5687594k5＝3.5687594

仅仅从k的表面数值，费根鲍姆没有看出什么名堂，于是，他又算出相邻三岔路口间的距离ddd：
d1=k2−k1=0.4495d2=k3−K2=0.0946d3=k4−K3=0.0203d4=k5−k4=0.00435d_1=k_2-k_1=0.4495 \\d_2=k_3-K_2 = 0.0946 \\d_3 = k_4-K_3=0.0203 \\d_4 = k_5-k_4=0.00435 d1=k2−k1=0.4495d2=k3−K2=0.0946d3=k4−K3=0.0203d4=k5−k4=0.00435
从这些ddd之间，费根鲍姆好像看出点规律来啦！每次算出的下一个ddd，都大约是上一个ddd的五分之一！当然，并不是准确的五分之一，好像有个什么常数在这儿作怪，多计算几项看看吧：
d1/d2=4.7514d2/d3=4.6562d3/d4=4.6683d4/d5=4.6686d5/d6=4.6692d6/d7=4.6694d_1/d_2=4.7514 \\d_2/d_3=4.6562 \\d_3/d_4 = 4.6683 \\d_4/d_5=4.6686 \\d_5/d_6=4.6692 \\d_6/d_7 = 4.6694 d1/d2=4.7514d2/d3=4.6562d3/d4=4.6683d4/d5=4.6686d5/d6=4.6692d6/d7=4.6694
上面列出的这些比值都很接近，但又并不完全相同，两个相邻比值之间的差别却越来越小。费根鲍姆作了一个猜测，这个比值，(kn－kn－1)/(kn＋1－kn)(k_n－k_{n－1})/(k_{n＋1}－k_n)(kn－kn－1)/(kn＋1－kn)当n趋于无穷时，将收敛于一个极限值：
δ=4.669201609\delta = 4.669201609 δ=4.669201609
同时，费根鲍姆也注意到，分岔后的宽度www也是越变越小(见上面的逻辑斯蒂分岔图), 那么，宽度的比值是否也符合某个规律呢？计算结果再次验证了费根鲍姆的想法，当n趋于无穷时，比值wn/wn+1w_n/w_{n+1}wn/wn+1将收敛于另一个极限值：
α=2.502907875\alpha=2.502907875 α=2.502907875
原来这个分岔图中隐藏着两个常数!

一个新概念、新理论的诞生往往伴随着新常数的出现，比如牛顿力学中的万有引力常数G，量子力学中的普朗克常数h，相对论中的光速c……

费根鲍姆想，难道这是反映混沌世界出现的两个特别常数？如果只是与有序到混沌的过程有关，那么，除了逻辑斯蒂系统之外，在别的系统，混沌魔鬼是不是也按照这个规律出现呢？

想到这儿，费根鲍姆再一次对另一个简单的非线性系统（正弦映射系统）：
xn+1=ksin(xn)x_{n+1}=ksin(x_n) xn+1=ksin(xn)
产生混沌的倍周期分岔过程进行研究。

对正弦映射系统倍周期分岔过程的计算结果让费根鲍姆激动不已，因为结果表明：正弦映射系统中的混沌魔鬼，与逻辑斯蒂系统的混沌魔鬼，遵循着一模一样的规律。它们诞生的速度比值中都有一个同样的几何收敛因子：
δ=4.669201609\delta = 4.669201609 δ=4.669201609
岔后的宽度也和逻辑斯蒂系统的分岔宽度，遵循同样的几何收敛因子而减小：
α=2.502907875\alpha=2.502907875 α=2.502907875
正弦映射和逻辑斯蒂映射的迭代函数完全不一样，一个是正弦函数，另一个逻辑斯蒂映射，但是这两个系统中的混沌却以同样的速度产生。

δ\deltaδ和α\alphaα两个费根鲍姆常数与迭代函数的细节无关，它们反映的物理本质应该是只与混沌现象，或者说只与有序到无序过渡的某种物理规则有关，这就是费根鲍姆常数的普适性。

之后，人们发现，只要是通过倍周期分岔而从有序到无序产生混沌的过程，都符合费根鲍姆常数所描述的规律。不过，对于费根鲍姆常数更深一层的物理本质，似乎知之甚少。