再谈单调队列优化背包九讲

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前置知识：

浅谈单调队列
简单背包问题

这篇文章我们主要研究 单调队列优化 dp\text{dp}dp 如何用于背包问题 和 部分特殊背包问题的优化方式。

01\text{01}01 背包问题

nnn 个物品，背包体积为 VVV，每个物品有 viv_ivi（价值）和 wiw_iwi（重量），每个物品只有 111 个。求在不超过背包体积的情况下能获得的最大价值。
n,V,vi,wi≤1×103n,V,v_i,w_i \leq 1 \times 10^3n,V,vi,wi≤1×103，时间限制 1s1s1s，空间限制 16MB16MB16MB.

简单的考虑，用 fi,jf_{i,j}fi,j 表示前 iii 个物品，背包体积为 jjj 的答案，则易得：

fi,j=max⁡(fi−1,j,fi−1,j−wi+vi)f_{i,j} = \max(f_{i-1,j} , f_{i-1 , j-w_i} + v_i)fi,j=max(fi−1,j,fi−1,j−wi+vi)

这样可以在 O(nV)\mathcal{O}(nV)O(nV) 的时间内解决问题。

但是你发现空间只有 16MB16 \text{MB}16MB，由于 iii 的决策只取决于上一行同一列，所以可以直接降维，得：

fj=max⁡(fj,fj−wi+vi)f_j = \max(f_j , f_{j-w_i} + v_i)fj=max(fj,fj−wi+vi)

注意 j≥wij \geq w_ij≥wi 的隐约限制。

伪代码如下：

for (i=1;i<=n;i++)
for (j=V;j>=w[i];j--)f[j] = max(f[j] , f[j-w[i]] + v[i]);

O(nV)\mathcal{O}(nV)O(nV) 是最优的算法。今天我们所要实现的，仅仅是，把所有的背包算法复杂度都降为 O(nV)\mathcal{O}(nV)O(nV).

倒叙枚举 - 小细节

你可能会在代码里注意到一行：

for (j=V;j>=w[i];j--)

为什么是倒序枚举呢？它和

for(j=w[i];j<=V;j++)

等价吗？

这是一个初学者常常犯的错误，这两种写法并不等价。可以运用这种写法去解决完全背包。

如果你是正序枚举的话，你会发现，iii 号物品会被重复使用很多次。比方说 wi=2,vi=3w_i = 2 , v_i = 3wi=2,vi=3 时，那么 j=4j=4j=4 就会从 j=2j=2j=2 转移过来，此时 程序已经把 iii 物品用了 222 次，这样是不可取的。而反之在完全背包中则是可取的，因为完全背包问题是 无限个数 ，可以这样写。

当然如果你倒序枚举的话，此时对于所有 j=wi,j=2×wi⋯⋯j = w_i , j = 2 \times w_i \cdots \cdotsj=wi,j=2×wi⋯⋯ 中，就只会更新 j=wij=w_ij=wi 的，因为倒序的时候 jjj 从 j−wij-w_ij−wi 来，前一个还没有推出来就推导后一个，肯定没有答案——这样正好是我们所求的。而 j=wij=w_ij=wi 有答案的原因就是因为本身的一次更新。

之后遇到的各种 dp\text{dp}dp 都会出现类似此类的问题，大家一定要小心！

完全背包问题

nnn 个物品，背包体积为 VVV，每个物品有 viv_ivi（价值）和 wiw_iwi（重量），每个物品有无限个。求在不超过背包体积的情况下能获得的最大价值。
n,V,vi,wi≤1×103n,V,v_i,w_i \leq 1 \times 10^3n,V,vi,wi≤1×103，时间限制 1s1s1s，空间限制 16MB16MB16MB.

这样你会发现一个问题，你不知道有多少个！

当然你可以用 ⌊Vvi⌋\lfloor \frac{V}{v_i} \rfloor⌊viV⌋ 来表示数量，考虑枚举。

同样的 fi,jf_{i,j}fi,j，我们可以知道：

fi,j=max⁡k=0⌊Vvi⌋(fi−1,j−k×wi+k×vi)f_{i,j} = \max_{k=0}^{\lfloor \frac{V}{v_i} \rfloor}(f_{i-1,j-k \times w_i} + k \times v_i)fi,j=k=0max⌊viV⌋(fi−1,j−k×wi+k×vi)

大前提是 j≥k×wij \geq k \times w_ij≥k×wi，这样转移的复杂度是 O(nVwi)\mathcal{O}(nVw_i)O(nVwi)，降维之后应该可以通过。

考虑一个简单的加强：

n,V,vi,wi≤1×104n,V,v_i,w_i \leq 1 \times 10^4n,V,vi,wi≤1×104，空间限制 128MB128MB128MB.

我们将在下面的研究中，解决这个问题。

多重背包问题

nnn 个物品，背包体积为 VVV，每个物品有 viv_ivi（价值）和 wiw_iwi（重量），每个物品有 numi\text{num}_inumi 个。求在不超过背包体积的情况下能获得的最大价值。
n,V,vi,wi≤1×104n,V,v_i,w_i \leq 1 \times 10^4n,V,vi,wi≤1×104，时间限制 1s1s1s，空间限制 128MB128MB128MB.

显然我们按照完全背包的方法就可以了，但是 O(nVwi)\mathcal{O}(nVw_i)O(nVwi) 是不可能通过 10410^4104 的！所以我们需要考虑，如何优化这个问题。

实际上不用单调队列也可以优化，我们先来讲著名的背包优化的几个方法。

二进制拆分

二进制！这是个熟悉的东西。

实际上我们背包的瓶颈在于两个：背包物品过多，背包容积过大，背包物品数量过多。

容积过大可能会想到离散，但是这不是排序之类只用知道大小的问题啊！容积是不能突破的，考虑优化物品个数。物品个数怎么可能优化呢？数量？

那你可能会说，这和二进制又有什么关系？

下面我们来说一说吧。

用二进制表示数

用集合 sss 表示二的幂次集，则 s={20,21⋯2∞}s = \{ 2^0 , 2^1 \cdots 2^{\infty}\}s={20,21⋯2∞}.每个正整数都可以用若干个 sss 集合内的元素相加而成。就是说每个数一定能被分解成若干二的幂次的数之和。

10=2+810 = 2 +810=2+8
100=64+32+4100 = 64 + 32 +4100=64+32+4
1000=512+256+128+64+32+81000 = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 81000=512+256+128+64+32+8

如何证明？

显而易见，每个数都能被二进制表示。比方说 1010=1001210_{10} = 1001_21010=10012.

那么，用计数原则，10012=1×20+0×21+0×22+1×231001_2 = 1 \times 2^0 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^310012=1×20+0×21+0×22+1×23

这样就证明结束了，你没有发现吗？

拆分原理

将一个 {vi,wi,numi}\{ v_i , w_i , num_i\}{vi,wi,numi} 的物品，通过 numinum_inumi 进行拆分。

本来假设一个物品有 777 个，你可以把它拆开成 1,2,41,2,41,2,4 个，对这三个物品进行 010101 背包，你就可以得到 1−71 - 71−7 所有可能的答案。最后你把不取的答案单独做一遍就可以了。

原理就是， nnn 最多被拆成 log⁡n\log nlogn 个二的幂次的数之和，这样保证了时间复杂度是 O(nVlog⁡wi)\mathcal{O}(nV \log w_i)O(nVlogwi) 的。

伪代码

for(i=1;i<=n;i++) {read(x) , read(y) , read(z);for(j=1;j<=z;j<<=1) v[++cnt]=x*j,w[cnt]=y*j,z-=j;if(z) v[++cnt]=x*z,w[cnt]=y*z;
}
// use array v and w to do 01 backpack

单调队列

显然，10410^4104 的数据可以把二进制拆分卡死。我们需要严格去掉 log⁡\loglog.

再看一眼这个状态转移：

fi,j=max⁡k=0numi(fi−1,j−k×wi+k×vi)f_{i,j} = \max_{k=0}^{\text{num}_i}(f_{i-1,j-k \times w_i} + k \times v_i)fi,j=k=0maxnumi(fi−1,j−k×wi+k×vi)

你会发现，这不是一段连续的决策！这是断续的。

但是，你会发现这样一个问题。

fi−1,j,fi−1,j−wi,fi−1,j−2×wi⋯fi−1,j−numi×wif_{i-1 , j} , f_{i-1 , j - w_i} , f_{i-1 , j - 2 \times w_i} \cdots f_{i-1 , j - \text{num}_i \times w_i}fi−1,j,fi−1,j−wi,fi−1,j−2×wi⋯fi−1,j−numi×wi，这是所有 fi,jf_{i,j}fi,j 的决策点。

你会发现，这些决策点是同行等差列的，每两个决策点隔着一个 wiw_iwi. 这非常好！

余数构造连续决策

你会发现，你可以把 VVV 按照模 wiw_iwi 进行分类，余数相同的肯定是一类的。

那样我们就可以把这一段当成连续的决策去做，因为实际上枚举余数 mo\text{mo}mo 和当前周期编号 kkk. 因为 kkk 是连续的，那么 mo+k×wi\text{mo} + k \times w_imo+k×wi 实际上就是当前的决策点。这样我们构造出了若干段连续的决策。

时间复杂度分析

对 nnn 个物品每次做一次，所以 O(n)\mathcal{O}(n)O(n).

然后同时枚举余数和 kkk，因为 mo×k≤V\text{mo} \times k \leq Vmo×k≤V，所以本质上这两重循环的 ∑\sum∑ 不会超过 VVV，是 O(V)\mathcal{O}(V)O(V).

按照单调队列每个节点进出一次的原理，O(nV)\mathcal{O}(nV)O(nV) 的目标已然达成。

for(i=1;i<=n;i++) {read(v) , read(w) , read(num); num=min(num,V/v);for(mo=0;mo<v;mo++) {l=r=0;for(k=0;k<=(V-mo)/v;k++) {x=k,y=f[k*v+mo]-k*w;while(l<r && q[l].pos<k-num) l++;while(l<r && q[r-1].val<=y) r--;q[r].val=y,q[r++].pos=x;f[k*v+mo]=q[l].val+k*w;}}}

完全背包问题 - 单调队列

这里我们发现，直接把 ⌊Vvi⌋\lfloor \frac{V}{v_i} \rfloor⌊viV⌋ 作为 num\text{num}num 就可以直接通过。这样我们实现了完全背包和多重背包的 O(nV)\mathcal{O}(nV)O(nV).

下面，有了多重背包和完全背包的基础，我们将来解决更套路性的问题。

混合背包问题

nnn 个物品，背包体积为 VVV，每个物品有 viv_ivi（价值）和 wiw_iwi（重量），每个物品的个数用符号 ttt 表示。t=−1t=-1t=−1 表示该物品只有 111 个，t=0t=0t=0 表示该物品有无限个，t>0t>0t>0 表示该物品有 ttt 个。求在不超过背包体积的情况下能获得的最大价值。
n,V,vi,wi≤1×104n,V,v_i,w_i \leq 1 \times 10^4n,V,vi,wi≤1×104，时间限制 1s1s1s，空间限制 128MB128MB128MB.

很显然，我们可以把 010101 背包的物品看成是 numi=1\text{num}_i = 1numi=1 的多重背包物品，完全背包的物品看成是 numi=⌊Vvi⌋\text{num}_i = \lfloor \frac{V}{v_i} \rfloornumi=⌊viV⌋ 的多重背包物品，最后用 O(nV)\mathcal{O}(nV)O(nV) 跑一遍多重背包即可。

代码略。

二维费用背包问题

nnn 个物品，背包体积为 VVV，所能承受的最大重量为 WWW.每个物品有 viv_ivi（价值）和 wiw_iwi（重量）和 gig_igi（体积）。求在不超过背包体积且不超过最大载重的情况下能获得的最大价值。（每个物品只有 111 个）
n,V,vi,wi≤5×102n,V,v_i,w_i \leq 5 \times 10^2n,V,vi,wi≤5×102，时间限制 1s1s1s，空间限制 128MB128MB128MB.

显然，我们出现了另一层限制，使得我们无法用 O(nV)\mathcal{O}(nV)O(nV) 的时间解决。实际上时间限制也暗示了这一点。我们应该从头开始，重新推导。其实大多过程是类似的。

基础推导过程

用 fi,j,kf_{i,j,k}fi,j,k 表示前 iii 个物品，体积为 jjj，载重为 kkk 的最大价值。

那么可得：

fi,j,k=max⁡(fi−1,j,k,fi−1,j−gi,k−wi+vi)f_{i,j,k} = \max(f_{i-1,j,k} , f_{i-1,j-g_i , k - w_i} + v_i)fi,j,k=max(fi−1,j,k,fi−1,j−gi,k−wi+vi)

按照这个方式，O(nVW)\mathcal{O}(nVW)O(nVW) 足以解决 5×1025 \times 10^25×102 的数据。

伪代码如下：

for(i=1;i<=n;i++) {read(g) , read(w) , read(v);for(j=V;j>=g;j--)for(k=W;k>=w;k--)f[j][k]=max(f[j][k],f[j-g][k-w]+v); //降维同 01 背包操作
}

拓展二维背包问题

假设，每个物品有 numi\text{num}_inumi 个，其余按照二维背包条件不变，5×1025 \times 10^25×102 仍不变，如何追求一个 O(nVW)\mathcal{O}(nVW)O(nVW) 的算法？

实际上单调队列仅仅是让我们 完全地把背包的复杂度寄托于物品的个数与限制条件，而与具体数值大小无关，所以单调队列是可以做到的。

fi,j,k=max⁡l=0numi(fi−1,j−l×wi,k−l×gi+l×vi)f_{i,j,k} = \max_{l=0}^{\text{num}_i} (f_{i-1,j-l \times w_i , k-l \times g_i} + l \times v_i)fi,j,k=l=0maxnumi(fi−1,j−l×wi,k−l×gi+l×vi)

但是，这个你和一维的背包问题比较一下呢：

fi,j=max⁡k=0numi(fi−1,j−k×wi+k×vi)f_{i,j} = \max_{k=0}^{\text{num}_i}(f_{i-1,j-k \times w_i} + k \times v_i)fi,j=k=0maxnumi(fi−1,j−k×wi+k×vi)

一维背包的周期是 wiw_iwi.按照这个说法，二维背包的周期应该是 lcm⁡(wi,gi)\operatorname{lcm}(w_i , g_i)lcm(wi,gi)，可以认为是 wi×giw_i \times g_iwi×gi.

我们需要同时枚举两个模数 mo1\text{mo1}mo1 和 mo2\text{mo2}mo2，用 mo1×wi+mo2\text{mo1} \times w_i + \text{mo2}mo1×wi+mo2 来表示当前节点，然后用单调队列做即可。

时间复杂度仍然是 O(nVW)\mathcal{O}(nVW)O(nVW)，一个道理，每个节点入队出队一次。

但是严格意义上这个做法是不对的。为什么呢？

拓展多维背包问题

在拓展二维的基础上，把每个物品的限制加到 kkk 个，能否做到 O(nVW)\mathcal{O}(nVW)O(nVW)？答案是不能。O(nVWk)\mathcal{O}(nVWk)O(nVWk)？这当然可以。

这样对于 kkk 个限制的相乘，单调队列的优化已经基本无用。因为在完全随机的，k≥3k \geq 3k≥3 的情况之下，kkk 个数的乘积很容易就超过了 max⁡i=1nwi\max_{i=1}^n w_imaxi=1nwi 使得优化失败，无法进行单调队列操作。

所以，222 维也是一个道理，两个随机的 ≤5×102\leq 5 \times 10^2≤5×102 的数相乘超过 5×1025 \times 10^25×102 的概率很大。一旦出现这样的物品，我们的单调队列等同于大暴力。而大暴力的复杂度恰恰是 O(nVWk)\mathcal{O}(nVWk)O(nVWk)，对于 kkk 个限制还需要进行循环判断，常数较大。

所以，一般的题目会给定 kkk 的值（并且一般来说 k≤3k \leq 3k≤3），把 kkk 当做常数来看！

分组背包问题

nnn 个物品，背包体积为 VVV.每个物品有 viv_ivi（价值）和 wiw_iwi（重量），只有 111 个。
每个物品属于第 sis_isi 组。求不超过背包体积且每组只选一个物品的最大价值。
n,V,vi,wi≤1×103n,V,v_i,w_i \leq 1 \times 10^3n,V,vi,wi≤1×103，时间限制 1s1s1s，空间限制 128MB128MB128MB.

很明显，我们应该考虑 dp\text{dp}dp 的推导。用 fk,jf_{k,j}fk,j 表示前 kkk 组物品重量为 jjj 所得的最大价值，易得：

fk,j=max⁡(fk−1,j,max⁡si=kfk−1,j−wi+vi)f_{k,j} = \max(f_{k-1,j} , \max_{s_i=k} f_{k-1,j-w_i} + v_i)fk,j=max(fk−1,j,si=kmaxfk−1,j−wi+vi)

显然我们已经得到了一个 O(n2V)\mathcal{O}(n^2V)O(n2V) 的算法，因为最大组数和 nnn 是同阶的，就算成 nnn 吧。

这里是没有办法优化的，因为 wiw_iwi 不连续，单调队列不行。

伪代码如下：

for(i=1;i<=n;i++) {read(s);for(j=1;j<=s;j++) read(w[j]) , read(v[j]);for(j=V;j>=0;j--)for(k=1;k<=s;k++)if(j>=w[k]) f[j]=max(f[j],f[j-w[k]]+v[k]);
}

有依赖的背包问题

这一道题目将是背包问题中最难的一种。

nnn 个物品，背包体积为 VVV.每个物品有 viv_ivi（价值）和 wiw_iwi（重量），只有 111 个。
每个物品有一个依赖物品 pip_ipi，如果选了 iii 物品，则必须选 pip_ipi 号物品。求不超过背包体积的最大价值。数据保证 每个物品最多依赖于一个物品。（注：因此此类题常常用树形结构给出，儿子节点和父节点呈依赖关系）
n,V,vi,wi≤1×103n,V,v_i,w_i \leq 1 \times 10^3n,V,vi,wi≤1×103，时间限制 1s1s1s，空间限制 128MB128MB128MB.

显然，这种有依赖的背包并不容易，这和树形 dp\text{dp}dp 有些类似。简单的，如果选了 iii，所有 iii 的祖先都会被选。

一个非常显然的思路是，直接把所有子树的答案计算，合并即可。对于每一个子树，先不考虑根节点，进行背包，然后最后加上根节点的值即可。（因为根节点无论如何会被选，除非全不选）

代码略。

泛化物品

背包中比较玄乎的东西，选看选做。

泛化物品的精髓就是，每个物品没有固定的价值和重量，其价值随着分配的重量而变化。简单的，你用 xxx 的重量去放它，它就会产生 hxh_xhx 的价值贡献。而 hxh_xhx 的具体计算会给你一个多项式。这是非常好的一类问题。这一类问题的解决相当繁琐。

比方说吧，若背包容量为 101010，h1=3x+2h_1 = 3x + 2h1=3x+2，一个物品 h2=2x+3h_2 = 2x+3h2=2x+3，显然你直接放 111 个 h1h1h1，价值就可以达到 323232。这意思不是说贪心可以解决背包，而是这类问题不好解决。

简单的透露一下，该问题的复杂度应当是 O(V2)\mathcal{O}(V^2)O(V2)，具体内容可以参考文末的泛化物品_百度百科.

求方案数 & 具体方案

非常简单，只需要再开一个，算出 fff 后，用 与其同样维数的 ggg 记录当前最优解的方案数。只需要把所有的决策点的 ggg 统计一遍即可得到新的 ggg.

求具体方案也一样，一般来说会让你求字典序最小的，那么你用 与 fff 同样维数的 ggg 记录当前最优解且字典序最小的 那一个编号，这样就可以解决问题。

如果让你求全部的最优方案，你需要开一个 vector\text{vector}vector 和 fff 维数一样，类似于 vector<int> h[N][M] 的操作，开二维数量个 vector\text{vector}vector，记录所有答案，最后迭代返回。

由于方案数的增加呈指数性，一般只会求特殊的具体方案 / 方案数取模。

附录：背包问题的搜索解法

以最简单的 010101 背包为例，如何用朴素搜索解决？

大力搜索

枚举每个物品选或不选，这样复杂度是 O(2n)\mathcal{O}(2^n)O(2n) 的，可以加上剪枝（最主要的：就是当前答案加上所有未选的价值之和也不如之前得到的答案，或者是重量超出限制），但也只能勉强通过 n=25n=25n=25 的数据。

一个基于贪心的优化，将重量小 / 价值大 / 性价比高的物品先搜索，会适当提高效率。但是哪怕剪枝到极限，最多也是 n=26,27n=26,27n=26,27 的样子。

NP\text{NP}NP 完全问题

考虑这是一个 NP\text{NP}NP 完全，所以从模板题出发：

给定集合 SSS，求是否存在集合 XXX 使得 XXX 中的元素之和为 kkk. ∣S∣≤42|S| \leq 42∣S∣≤42.

显然大力枚举 2422^{42}242 是不可能通过的。我们考虑一个简单的优化。

将 SSS 等分为两部分 S1S1S1 和 S2S2S2，然后枚举 S1S1S1 和 S2S2S2 内所有的可能，并两两相加验证。这样复杂度是 O(2⌊n2⌋)\mathcal{O}(2^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor})O(2⌊2n⌋) 的，可以通过 n=42n=42n=42 的数据。

当然作者可以自行尝试分更多份，实际上大概率效率不会更高。

折半搜索

实际上上面解决 NP\text{NP}NP 完全的方法就是折半搜索的精髓了，对两边分别大力搜索即可实现 O(2⌊n2⌋)\mathcal{O}(2^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor})O(2⌊2n⌋) 的复杂度。

搜索 VS DP\text{VS DP}VS DP

一般来说，设计到多重，完全，肯定是 dp\text{dp}dp.只有 010101 背包需要进行讨论！

如果 wi,V≤1016,n≤40w_i,V \leq 10^{16} , n \leq 40wi,V≤1016,n≤40，那明显是折半搜索。

如果 wi,V,n≤5×103w_i,V,n \leq 5 \times 10^3wi,V,n≤5×103，那明显是 dp\text{dp}dp.

总之，面向数据编程是没有毛病的，具体情况具体分析吧。

课后习题

（Acwing\text{Acwing}Acwing 上面 999 道题，洛谷\text{洛谷}洛谷上 111 道，一共 101010 道不算多吧）

01\text{01}01 背包

完全背包

多重背包 - 单调队列

多重背包 111 - 大暴力

多重背包 222 - 二进制拆分

多重背包 333 - 单调队列

混合背包

二维费用背包

分组背包

有依赖的背包

参考资料

泛化物品_百度百科