背包九讲

一、01背包

对于每件物品都有只有一件，体积为 v[i]， 价值为 w[i]，对于每件物品考虑选或者不选

题目链接

二维dp

f[i][j]表示选完前 i 件物品后能取得的最大价值

数据：
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

手动模拟：

f[0][0] = 0; f[0][1] = 0; f[0][2] = 0; f[0][3] = 0; f[0][4] = 0; f[0][5] = 0;f[1][0] = 0; f[1][1] = 2; f[1][2] = 2; f[1][3] = 2; f[1][4] = 2; f[1][5] = 2;
f[1][1] = max(f[0][1], f[0][1-1]+2) = 2;
f[1][2] = max(f[0][2], f[0][1]+2) = 2;f[2][0] = 0; f[2][1] = 2; f[2][2] = 4; f[2][3] = 6; f[2][4] = 6;  f[2][5] = 6;
f[2][1] = f[1][1];
f[2][2] = max(f[1][2], f[1][2-2] + 4) = 4;
f[2][3] = max(f[1][3], f[1][3-2] + 4) = 6;
...最终价值的最大值一定使 f[n][m]， 因为所有的价值都是从之前转移过来的最大价值

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;
const int maxn = 1010;int f[maxn][maxn];
int n, m;int main() {//  freopen("test.in", "r", stdin);cin >> n >> m;int v[maxn], w[maxn];for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];// 从一件物品也不选开始,逐渐利用之前的选择情况继续选择 for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 0; j <= m; j++) {f[i][j] = f[i-1][j]; // 如果容量不够的话就不选 if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]); // 容量够的话选择价值更大的 }}cout << f[n][m] << endl; return 0;
}

优化为一维

首先我们将 f[i][j] 变成 f[j] 表示容量为 j 时的最大价值

for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 0; j <= m; j++) {f[j] = f[j]; // 如果容量不够的话就不选 if(j >= v[i]) f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]); // 容量够的话选择价值更大的 }
}

还是将物品一件一件判断是否取用来确定价值
我们能看到实际仅仅减小了空间复杂度，而时间复杂度仍然是 O（n^2）
手动模拟一下

f[0] = 0;
i = 1:  f[0] = 0;  f[1] = 2; f[2] = max(f[2], f[2-1] + 2) = 4, 这显然是错的，这里我们将 1 号物品取用了两次

从上面的手动模拟我们发现， 每次从小容量向大容量更新答案的过程有问题，会经过小容量而重复选择同一个物品，我们很快想到，大容量是通过小容量更新的，那么我们先从大容量开始就会避免重复问题，而对于每个物品实现了选择，又不影响下一个物品利用当前结果更新

for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = m; j >= 0; j--) {if(j >= v[i]) f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);}
}

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;
const int maxn = 1010;int f[maxn];
int n, m;int main() {//  freopen("test.in", "r", stdin);cin >> n >> m;int v[maxn], w[maxn];for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];// 从一件物品也不选开始,逐渐利用之前的选择情况继续选择 for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = m; j >= 0; j--) {if(j >= v[i]) f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);}}cout << f[m] << endl; return 0;
}

二、完全背包

每种物品都有无数件，考虑每种物品选几件使价值最大

二维dp

int main() {//  freopen("test.in", "r", stdin);cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) {int v, w;cin >> v >> w;for(int j = 0; j <= m; j++) {f[i][j] = f[i-1][j]; // 如果容量不够的话if(j >= v) f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-v] + w); // 如果容量够的话,比较不选和按照当前物品行的小容量来更新大容量二者中的最优值}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

按理说更新时应该是 max(f[i-1][j], f[i-1][j-v]+w, f[i][j-v]+w)，实际上由于上一步对于容量不够的情况下的赋值，所以max(f[i-1][j], f[i][j-v] + w)中已经包括了所有情况，该物品与上一物品的比较再加入第一件该种物品是就已经实现了，在大容量的更新过程中延续

优化为一维

对于完全背包，刚好后面大容量利用小容量更新实现了重复选择的功能，直接由小到大更新即可

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;
const int maxn = 1010;
int n, m;
int f[maxn];int main() {//  freopen("test.in", "r", stdin);cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) {int v, w;cin >> v >> w;for(int j = 0; j <= m; j++) {if(j >= v) f[j] = max(f[j], f[j-v] + w);}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

三、多重背包

每种物品有又穷件，考虑如何选择

数据范围很小时，变成01背包暴力

题目链接

数据范围很小，可以将s件i种物品拆分，变成S1+S2+S3+…件物品的 01 背包

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;
const int maxn = 110;int f[maxn];int main() {//  freopen("test.in", "r", stdin);int n, m;cin >> n >> m;int v, w, s;// 01背包的扩展 for(int i = 1; i <= n; i++) {cin >> v >> w >> s;for(int j = m; j >= v; j--) {for(int k = 0; k <= s; k++){if(j >= k*v) f[j] = max(f[j], f[j-k*v]+k*w);}  }}cout << f[m] << endl;return 0;
}

当数据范围较大时，利用二进制优化

此时题目范围变为 1000 * 2000 * 2000
题目链接

思路：
假如此时有 7 件物品
那我们只需要 1， 2， 4 四个数字就能表示出每件物品
这三个数字是 2 的整次数
0
1 = 1；
2 = 2；
3 = 1 + 2；
4 = 4；
5 = 1 + 4；
6 = 2 + 4；
7 = 1 + 2 + 4；
此时问题转化为只有 1， 2 ， 4 三个物品的 01 背包问题

假设此时有 10 件物品
我们只需 1， 2， 3， 4 四个数字就能表示每件物品
3 是怎么来的， 3 = 10 - 1 - 2 - 4，（先选好二进制数然后求出剩下需要补充的数字）
0
1 = 1；
2 = 2；
3 = 3；
4 = 4；
5 = 1 + 4；
6 = 2 + 4；
7 = 1 + 2 + 4；
8 = 1 + 4 + 3；
9 = 2 + 4 + 3；
10 = 1 + 2 + 4 + 3；
此时问题转化为只有 1， 2， 3， 4 四件物品的 01 背包问题

复杂度降为 1000 * log（2000）* 2000 = 1000 * 11 * 2000 = 2 e 7
AC 代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>using namespace std;
const int maxn = 2010;int n, m;
int f[maxn];struct Good{int v, w;
};int main() {//  freopen("test.in", "r", stdin);cin >> n >> m;vector<Good> goods;  // 由于不确定有多少件物品，开个 vector for(int i = 1; i <= n; i++) {int v, w, s;cin >> v >> w >> s;for(int j = 1; j <= s; j *= 2) { s -= j;goods.push_back({j*v, j*w}); // 存编号为二进制数的物品 }if(s > 0) goods.push_back({s*v, s*w}); // 存剩下的物品 }// 问题转化为只有 goods.size() 件物品的 01 背包问题 for(auto good: goods) {for(int j = m; j >= good.v; j--) {f[j] = max(f[j], f[j-good.v] + good.w);}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

二进制优化还不够用时，利用单调队列（滑动窗口）优化

暂时我还不懂，等明白了再解释

AC 代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>using namespace std;
const int maxn = 20010;
int n, m;
int f[maxn], g[maxn], q[maxn];int main() {//  freopen("test.in", "r", stdin);cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++) {int c, w, s;cin >> c >> w >> s;memcpy(g, f, sizeof(f));for(int j = 0; j < c; j++) {int hh = 0, tt = -1;for(int k = j; k <= m; k += c) {f[k] = g[k];if(hh <= tt && k - s*c > q[hh]) hh++;if(hh <= tt) f[k] = max(f[k], g[q[hh]] + (k - q[hh]) / c * w);while(hh <= tt && g[q[tt]] - (q[tt] - j) / c*w <= g[k] - (k -j) / c*w) tt--;q[++tt] = k;}}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

四、混合背包

五、二维费用的背包问题

六、分组背包

七、背包问题求方案数

八、求背包问题的方案数

九、有依赖的背包问题

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