欧几里得算法(求解最大公约数的优质方法)以及原理拓展

2024-04-16 02:25:19

前言：仅个人小记。欧几里得算法提供了求解最大公约数的方法，而求解最大公约数是十分有意义的，因为当两个数的最大公约数为1的时候，这两个数就是互质的，即gcd(a,b)=1 等价于 a与b互质，而互质这个性质在数论中则是非常重要。

结论交代

欧几里得算法(Eculidean Algorithm)指明：a,b最大公约数(Greatest Common Divisor)，就等于b,a%b的最大公约数，公式如下

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b) = gcd(b,a \% b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

但实际上，不仅仅是最大公约数，普通的公约数(Common Divisor)也吻合上面情况，即有cd(a,b)=cd(b,a%b)cd(a,b)=cd(b,a\%b)cd(a,b)=cd(b,a%b)
所以，上述最大公约数的性质只是普通公约数的一个特例。

引理证明

如果 (a + b) % d = 0，b % d = 0，则必然有 a % d = 0。
证明如下：
因为(a + b) % d = 0 ,b % d = 0，
所以可以令 a + b = kd , b = k’ d, 其中k 和 k’ 都是整数。
进而，a + b = kd ----> a + k’d = kd -----> a = (k-k’)d，即 a 是 d 的整数倍，进而必有 a % d = 0，证毕。

证明过程

证 cd(a,b)=cd(b,a%b)cd(a,b)=cd(b,a\%b)cd(a,b)=cd(b,a%b)。
令 a = kb + r，则有 r = a - kb，

正向

若 d 是 a , b的公约数有，则必有 a % d = 0 以及 b % d = 0，进而必有 r % d = 0，所以显然 d 也是 b, r 的公约数

反向

若 d 是 b, r 的公约数， 则必有 a % d = 0 以及 r % d = 0, 即 b %ｄ＝ 0 以及 (a - kb) % d=0，借助上述引理证明，进而必有 a % d = 0。

综述

若 d 是 a, b 的公约数，则 d 必然是 b, r 的公约数；若 d 是 b, r 的公约数，则 d 必然是 a, b 的公约数；即 a, b 的公约数必然是 b, r 的公约数，即 cd(a,b)=cd(b,r)=cd(b,a%b)cd(a,b)=cd(b,r) = cd(b,a\%b)cd(a,b)=cd(b,r)=cd(b,a%b),示意如下图

证毕。

讨论

故而，求 a,b 公约数问题就等价于求 b, r 公约数问题，进而求 a,b 最大公约数问题就等价于求 b, r 最大公约数问题，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b) = gcd(b,a \% b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
用欧几里得算法求解最大公约数的代码如下：

int gcd(int a, int b){if (b == 0) return a;return gcd(b,a%b);
}

原理一般化拓展

以上对欧几里得算法的证明，同时也就是对 “如果a⊥ba\perp ba⊥b，则必然有 a+kb⊥ba+kb \perp ba+kb⊥b” 的证明。这个公式更有一般化的原理意义，而以上欧几里得算法只是具体为对余数 r与模数 b互质的证明，即证明 r = a - kb 与 b 互质。显然，r = a - kb 只是归属于 a+kb 的一种表达，故而可以直接得证。该原理如下图所示，

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