二重积分的数值方法

《数值分析课程设计》

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一、题目

数值积分中二重积分探究。

二、理论

数值积分就是用数值方法近似计算定积分。其原理很简单，就是将积分核用插值多项式替代，用多项式的结果近似定积分的值。

一般常用的方法是，将积分区间等分为个子区间，即取步长

，

子区间端点为(k=0,1,…，n)，在每个子区间上套用插值积分公式，再将个区间的结果累加起来。

比较常用的有梯形公式，是在每个子区间上用1阶多项式(即直线段)近似并积分的结果：

另外一种在实际应用中很受欢迎的方法是，在每个子区间上用2阶多项式(即抛物线)近似并积分，得到著名的辛普森(Simpson)公式：

其中。

三、方法、算法与程序设计

Ⅰ.辛普森公式求二重积分

考虑二重积分，它是曲面与平面区域R围成的体积，对于矩形区域，可将它写成累次积分

。

若用复合辛普森公式，可分别将,分成N,M等份，步长

,，

先对积分，应用复合辛普森公式，令，，则

从而得

。对每个积分再分别用复合辛普森公式即可求得积分值。MATLAB程序见附录1，MATLAB中自带自适应辛普森公式dblquad()，对于变量区域同样适用。

对于变量区域，写成累次积分的形式：

进行数值计算的表达式为：

上面的表达式中、表示权重，取决于一维积分方法。我们常用复合辛普森公式，先对内积分进行计算，在计算外积分，与矩形区域情况基本一致。

Ⅱ高斯求积公式求二重积分

在高斯求积公式中，若取权函数，区间为，则得公式

。

勒让德多项式是区间上的正交多项式，因此，勒让德多多项式的零点就是求积公式的高斯点。

若取的零点做节点构造求积公式

；

若取的零点构造求积公式

；

当时，求积公式为

同样先用高斯求积公式求内积分，再求外积分，可得二重积分值。

四、算例、应用实例

算例：

计算二重积分。

(1)若区域，试分别用复合辛普森公式(取n=4)及高斯求积公式(取n=4)求积分。

(2)若区域用复合辛普森公式(取n=4)求积分。

解：

(1)

=

对各个积分应用复合辛普森公式。

也可应用MATLAB中的函数进行计算，程序见附录2。

先将区域变换为区域，其中

，等价于，有

。

对于取时的高斯求积公式节点及系数，即

，，，，

，，，

用的高斯积分公式计算积分I，

(2)

，

等分为4等份，对应值为的值，用

节点应用辛普森公式对内积分求积，再用复合辛普森公式对外积分求积，

也可用MATLAB中的函数实现，结果和程序如下(附录3)。

五、参考文献

【1】 数值分析 李庆扬，王朝能，易大义 清华大学出版社

【2】 数值分析课程设计 陈越，童若锋 浙江大学出版社

【3】 MATLAB教程 张志涌 北京航空航天大学出版社

六、附录

附录1：

function q=DblSimpson(f,a,A,b,B,m,n)if(m==1 && n==1)??%辛普森公式q=((B-b)*(A-a)/9)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,b})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,B})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,b})+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,B})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,b})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,B})+...4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{a,(B-b)/2})+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{A,(B-b)/2})+...16*subs(sym(f),findsym(sym(f)),{(A-a)/2,(B-b)/2}));else?? %复合辛普森公式q=0;for i=0:n-1for j=0:m-1x=a+2*i*(A-a)/2/n;y=b+2*j*(B-b)/2/m;?????????