一. Gauss求积公式

例题1

二. 双重积分问题的数值解

例题2

例题3

例题4

例题5

例题6

一. Gauss求积公式

Gauss求积公式可以让数值求解积分有较高的代数精度.举例对[-1,1]区间内的Gauss积分：

$\int_{-1}^1f(x)dx\approx\sum_{k=0}^nA_kf(x_k)$

n取不同值时，Guass求积公式也会不同：

$n=1,x_0=x_1=\pm0.5773503,A_0=A_1=1.00000000$

$n=2,x_0=x_2=\pm0.7745967,A_0=A_2=0.55555556,x_1=0.00000000,A_1=0.88888889$

类推到任意的求积区间[a,b]，通过变换 $x=\frac{b-a}{2}t+\frac{b+a}{2}$ 可得如下：

$\int_a^bf(x)dx=\frac{b-a}{2}\int_{-1}^1f(\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2})dt=\frac{b-a}{2}\sum_{k=0}^nA_kf(\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2})$

例题1

取n=2，利用Gauss求积公式计算 $\int_0^1cosxdx$ 。

解：

(1)原函数文件

function y=gaussf(x)
y=cos(x);

（2）主运行文件

clc;clear;
gauss2('gaussf',0,1)function g=gauss2(fun,a,b)
h=(b-a)/2;
c=(a+b)/2;
x=[h*(-0.7745967)+c, c, h*0.7745967+c];
g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1))+gaussf(x(3)))+0.88888889*gaussf(x(2)));
end

运行结果：

ans = 0.841471418069758

二. 双重积分问题的数值解

矩形区域上的二重积分的数值计算形式：

$I=\int_{y_m}^{y_M}\int_{x_m}^{x_M}f(x,y)dxdy$

在MATLAB中调用的格式为：

$y=dblquad(Fun,x_m,x_M,y_m,y_M)$

限定精度的双重积分调用格式为：

$y=dblquad(Fun,x_m,x_M,y_m,y_M,\epsilon)$

例题2

求解

$J=\int_{-1}^1\int_{-2}^2e^{\frac{-x^2}{2}}sin(x^2+y)dxdy$

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y');
y=dblquad(f,-2,2,-1,1)

运行结果：

y =1.574493189744943

在MATLAB中，利用tiled方法也可以计算二重数值积分，调用的函数为quad2d。格式如下：

q=quad2d(fun,a,b,c,d)

此函数可看成近似计算平面区域 $a\leq x\leq b$ 和 $c(x)\leq y\leq d(x)$ 上， $fun(x,y)$ 的积分。fun是函数句柄，c和d可以是标量或者是函数句柄。如果增加计算精度，调用格式如下：

$[q,errbnd]=quad2d(fun,a,b,c,d,param1,val1,param2,val2,\ldots)$

例题3

求积分

$J=\int_{-\frac{1}{2}}^1\int_{-\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}^{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}e^{\frac{-x^2}{2}}sin(x^2+y)dydx$ 。

解：

MATLAB代码：

clc;clear;%s数值方法
fh=@(x)sqrt(1-x.^2/2);
fl=@(x)-sqrt(1-x.^2/2);
f=@(x,y)exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
I1=quad2d(f,-1/2,1,fl,fh) % MATLAB自带函数求解一般区域的二重积分%解析解方法
syms x y
i2=int(exp(-x^2/2)*sin(x^2+y),y,-sqrt(1-x^2/2),sqrt(1-x^2/2));
I2=int(i2,x,-1/2,1);
I2=vpa(I2)

运行结果：
I1 =0.411929546211955
I2 =0.41192954617629511965175994017601

例题4

计算单位圆域上的积分：

解：

先把二重积分转化为常见的形式如下：

$I=\int_{-1}^1\int^{\sqrt{1-y^2}}_{-\sqrt{1-y^2}} e^{-\frac{x^2}{2}}sin(x^2+y)dxdy$

MATLAB代码如下：

clc;clear;%s数值方法
fl=@(y)-sqrt(1-y.^2);
fh=@(y)sqrt(1-y.^2);
f=@(x,y)exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
I1=quad2d(f,-1,1,fl,fh)%解析解方法
syms x y;
i2=int(exp(-x^2/2)*sin(x^2+y), x, -sqrt(1-y.^2), sqrt(1-y.^2));
I2=int(i2,y,-1,1);
I2=vpa(I2)

运行结果：
I1 =0.536860382211891

I2 =0.5368603826988078755775938492913

最后再介绍一个二重积分进行数值计算的另一个函数Integral2。在MATLAB中调用的格式为如下：

q=integral2(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)

如果增加参数限制的话，调用格式如下：

q=integral2(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,Name,Value)

例题5

求函数 $f(x,y)=\frac{1}{(\sqrt{x+y})(1+x+y)}$ 在 $0\leq x\leq1$ 和 $0\leq y\leq 1-x$ 三角形区域的积分。

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
fun =@(x,y)1./(sqrt(x+y).*(1+x+y).^2);
ymax=@(x)1-x;
q=integral2(fun,0,1,0,ymax)

运行结果：

q =0.285398175390866

例题6

求函数 $f(x,y)=ax^2+by^2$ 在区域 $0\leq x\leq5$ 和 $-5\leq y\leq0$ 的积分。其中参数 $a=3,b=5$ 。

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
a=3;
b=5;
fun=@(x,y)a*x.^2+b*y.^2;
q=integral2(fun,0,5,-5,0,'Method','iterated',...
'AbsTol',0,'RelTol',1e-10)

运行结果：q = 1.666666666666667e+03

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