正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4331

题目大意

给出一个序列aaa，求一个单调上升的序列bbb使得∑i=1n∣ai−bi∣\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|∑i=1n∣ai−bi∣最小。

解题思路

巧妙的解法

首先我们让所有的ai−ia_i-iai−i这样我们求的bbb序列就只需要满足单调不降。

然后考虑特殊情况

对于一串连续的满足ax≤ax+1a_x\leq a_{x+1}ax≤ax+1那么这一段的bx=axb_x=a_xbx=ax
对于一串连续的满足ax≥ax+1a_x\geq a_{x+1}ax≥ax+1那么这一段的bxb_xbx为这一段数的中位数

而且对于连续的两个区间(L,mid)(L,mid)(L,mid)和(mid+1,R)(mid+1,R)(mid+1,R)的局部最优解也满足一下性质，所以就有做法：

我们维护若干段局部最优解www，每次加入一个数aia_iai如果满足ai≥wcnta_i\geq w_{cnt}ai≥wcnt那么有bi=aib_i=a_ibi=ai。如果ai≤wcnta_i\leq w_{cnt}ai≤wcnt那么我们就将aia_iai合并入前面的局部最优解，并重新计算这一段的中位数后继续看是否需要与前面合并（即判断是否wcnt≥wcnt−1w_{cnt}\geq w_{cnt-1}wcnt≥wcnt−1）。

我们可以左偏树做到动态合并和维护中位数（保持堆中个数为一半即可）。时间复杂度O(nlog⁡n)O(n\log n)O(nlogn)

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,cnt,a[N],rt[N],L[N],R[N];
int t[N][2],dis[N],val[N],siz[N];
long long ans;
int Merge(int x,int y){if(!x||!y)return x+y;if(val[x]<val[y])swap(x,y);int &ls=t[x][0],&rs=t[x][1];rs=Merge(rs,y);if(dis[ls]<dis[rs])swap(ls,rs);dis[x]=dis[ls]+1;return x;
}
void Pop(int x)
{siz[x]--;rt[x]=Merge(t[rt[x]][0],t[rt[x]][1]);}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),a[i]-=i;for(int i=1;i<=n;i++){siz[++cnt]=1;val[i]=a[i];rt[cnt]=i;L[cnt]=R[cnt]=i;while(cnt>1&&val[rt[cnt-1]]>val[rt[cnt]]){cnt--;siz[cnt]+=siz[cnt+1];R[cnt]=R[cnt+1];rt[cnt]=Merge(rt[cnt],rt[cnt+1]);while(siz[cnt]>(R[cnt]-L[cnt])/2+1)Pop(cnt);}}for(int i=1;i<=cnt;i++)for(int j=L[i];j<=R[i];j++)ans+=abs(a[j]-val[rt[i]]);printf("%lld\n",ans);for(int i=1;i<=cnt;i++)for(int j=L[i];j<=R[i];j++)printf("%d ",val[rt[i]]+j);
}

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P4331-[BalticOI2004]Sequence数字序列【左偏树】

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