代数学笔记5: 群论(一)
群的基本概念
集合SSS+二元运算->群
- 半群: 满足结合律,即∀a,b,c∈S,(a∘b)∘c=a∘(b∘c)\forall a,b,c\in S, (a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)∀a,b,c∈S,(a∘b)∘c=a∘(b∘c);
例子: 映射复合. - 幺半群: 满足结合律的基础上, 还有幺元(或称单位元, 存在且唯一), 即∃e∈S,∀a∈S,s.t.ea=ae=a\exist e\in S,\forall a\in S,\text{s.t.}ea=ae=a∃e∈S,∀a∈S,s.t.ea=ae=a.
- 群: 在上述条件的基础上, 集合中任意元素都存在逆元, 即∀a∈S,∃b∈S,s.t.ab=ba=e\forall a\in S,\exist b\in S,\text{s.t.} ab=ba=e∀a∈S,∃b∈S,s.t.ab=ba=e.
★\bigstar★: 从变换的角度来看运算.
子群
若(S,∘)(S,\circ)(S,∘),为一个群, A⊆SA\subseteq SA⊆S, (A,∘)(A,\circ)(A,∘)仍为一个群, 称为群SSS的子群, 则
- e∈Ae\in Ae∈A;(有单位元)
- a∈A,a−1∈Aa\in A,\,a^{-1}\in Aa∈A,a−1∈A (有逆元, 利用单位元的唯一性);
- ∀a,b∈A,a∘b∈A\forall a,b \in A,a\circ b\in A∀a,b∈A,a∘b∈A(运算封闭):
上面三条可以等价为下面的一条判定方法:
- ∀a,b,ab−1∈A\forall a,b,\,ab^{-1}\in A∀a,b,ab−1∈A(原因:①取a=ba=ba=b②取a=e,b=aa=e,b=aa=e,b=a③取a=a,b=b−1a=a,\,b=b^{-1}a=a,b=b−1, 即得).
阶
对一个有限群:G=({e,a,...,am=e},∘)G=(\{e,a,...,a^m=e\},\circ)G=({e,a,...,am=e},∘), 群的阶∣G∣=m|G|=m∣G∣=m为群中元素的个数.
aaa的阶为mmm, 不然, 取aj=ai,i>ja^j=a^i,i>jaj=ai,i>j, ai−jaj=aia^{i-j}a^j=a^iai−jaj=ai, ai−j=ea^{i-j}=eai−j=e, ai−j+1=a,...a^{i-j+1}=a,\,...ai−j+1=a,...
一个无限阶群, 可能其每一个元素都有有限阶元.
例子:
- (F2,+)(\mathbb{F}_2,+)(F2,+), 其中F2={0,1}\mathbb{F}_2=\{0,1\}F2={0,1}.
- 二元域上的多项式加群(F2[x],+)(\mathbb{F}_2[x],+)(F2[x],+).
等价关系-等价类
等价关系三个条件{自反性对称性传递性等价关系三个条件\begin{cases} 自反性\\ 对称性\\ 传递性\\ \end{cases} 等价关系三个条件⎩⎪⎨⎪⎧自反性对称性传递性
由等价关系, 可以定义等价类, 等价类可以用作集合的划分.
[c]=cˉ={d∈V∣d∼c}.[c]=\bar{c}=\{d\in V\,|\,d\sim c\}. [c]=cˉ={d∈V∣d∼c}.
等价类的性质:
- ⋂ci‾=∅\bigcap \overline{c_i}=\varnothing⋂ci=∅;
- ⋃ci‾=S\bigcup \overline{c_i}=S⋃ci=S.
陪集
若H<GH<GH<G, 则在GGG中定义等价关系∼\sim∼: g1∼g2⟺g1g2−1∈Hg_1\sim g_2\iff g_1g_2^{-1}\in Hg1∼g2⟺g1g2−1∈H(右等价关系)
g1‾=[g1]={h∈G∣g1∼h}={h∈G∣g1h−1∈H(orhg1−1∈H)}={h=(hg1−1)g1∣hg1−1∈H}={tg1∣t∈H}=Hg1(右陪集,g1称为代表元)⇒∣Hg1∣=∣H∣\begin{aligned} \overline{g_1}& =[g_1]=\{h\in G\,|\,g_1\sim h\}\\ &=\{h\in G\,|\,g_1h^{-1}\in H\ (or\ hg_1^{-1}\in H)\}\\ &=\{h=(hg_1^{-1})g_1\,|\,hg_1^{-1}\in H\}\\ &=\{tg_1\,|\,t\in H\}=Hg_1(右陪集, g_1称为代表元)\\ \Rightarrow|Hg_1|&=|H| \end{aligned} g1⇒∣Hg1∣=[g1]={h∈G∣g1∼h}={h∈G∣g1h−1∈H (or hg1−1∈H)}={h=(hg1−1)g1∣hg1−1∈H}={tg1∣t∈H}=Hg1(右陪集,g1称为代表元)=∣H∣
例子: 设G=S3,H={(1),(12)}G=\mathcal{S}_3, H=\{(1),(12)\}G=S3,H={(1),(12)}, 求HHH的右陪集:
H(1)={(1),(12)}=H(12);H(13)={(13),(132)}=H(132);H(23)={(23),(123)}=H(123);H(1)=\{(1),(12)\}=H(12);\\ H(13)=\{(13),(132)\}=H(132);\\ H(23)=\{(23),(123)\}=H(123); H(1)={(1),(12)}=H(12);H(13)={(13),(132)}=H(132);H(23)={(23),(123)}=H(123);
陪集的指数
群GGG关于子群HHH的左(右)陪集的个数叫做子群HHH在GGG 中的指数,记为[G:H][G:H][G:H]. 上例中[G:H]=3[G:H]=3[G:H]=3.
Lagrange定理
∣G∣=[G:H]∣H∣,∣H∣∣∣G∣.|G|=[G:H]|H|, |H|\big||G|. ∣G∣=[G:H]∣H∣,∣H∣∣∣∣G∣.
推论:
GGG为一有限群, 任取a∈Ga\in Ga∈G, 有∣a∣=∣⟨a⟩∣∣∣G∣|a|=|\lang a\rang|\big||G|∣a∣=∣⟨a⟩∣∣∣∣G∣.
正规子群
如果群GGG的子群NNN满足
aN=Na,∀a∈G,aN=Na,\quad \forall a\in G, aN=Na,∀a∈G,
则称NNN为GGG 的正规子群(normal subgroup, 或称不变子群), 记为N⊴GN\unlhd GN⊴G.
此时NNN 的左右陪集相等, 统称为NNN 的陪集(coset).
显然, 交换群(Abel群)的任意子群均为正规子群.
群G>N,[G:N]=2G>N, [G:N]=2G>N,[G:N]=2, 则N⊴GN\unlhd GN⊴G.
证明:
任取a∈G\Na\in G\backslash Na∈G\N, 显然有G=N∪˙aN=N∪˙NaG=N\dot{\cup}aN=N\dot{\cup}NaG=N∪˙aN=N∪˙Na, 于是aN=G\N=NaaN=G\backslash N=NaaN=G\N=Na, 于是有N⊴GN\unlhd GN⊴G.
N⊴G⟺aNa−1=N,∀a∈GN\unlhd G\iff aNa^{-1}=N,\forall a\in GN⊴G⟺aNa−1=N,∀a∈G.
aNa−1=(aN)a−1=(Na)a−1=N(aa−1)=N.aNa^{-1}=(aN)a^{-1}=(Na)a^{-1}=N(aa^{-1})=N. aNa−1=(aN)a−1=(Na)a−1=N(aa−1)=N.N⊴G⟺ana−1∈N,∀a∈G,n∈NN\unlhd G\iff ana^{-1}\in N,\ \forall a\in G,n\in NN⊴G⟺ana−1∈N, ∀a∈G,n∈N.
ana−1∈N,∀a∈G,n∈N,⟺an∈Na,aN⊆Na;ana−1=an(a−1)−1∈N,⟺Na⊆Na;⟺aN=Na.ana^{-1}\in N,\ \forall a\in G,n\in N,\iff an\in Na, aN\subseteq Na;\\ ana^{-1}=an(a^{-1})^{-1}\in N,\ \iff Na\subseteq Na;\iff aN=Na. ana−1∈N, ∀a∈G,n∈N,⟺an∈Na,aN⊆Na;ana−1=an(a−1)−1∈N, ⟺Na⊆Na;⟺aN=Na.
正规子群的重要性在于: 其陪集的集合, 对于原来的群诱导的运算, 也构成一个群.
共轭子群 共轭类
设GGG是一个群, a,b∈Ga,b\in Ga,b∈G, 如果存在x∈Gx\in Gx∈G,使得b=xax−1b=xax^{-1}b=xax−1,则称aaa与bbb共轭(conjugate), bbb称为aaa的共轭元.
与aaa 共轭的元素所成集合Ca={xax−1∣x∈G}C_a=\{xax^{-1}\,|\,x\in G\}Ca={xax−1∣x∈G}称为aaa的共轭类.
共轭类(满足等价关系定义)定义了群GGG的一个划分:
G=⋃a∈I˙Ca,I为共轭类的代表元集合.G=\dot{\bigcup\limits_{a\in I}}C_a,I为共轭类的代表元集合. G=a∈I⋃˙Ca,I为共轭类的代表元集合.群GGG的任一正规子群是某些共轭类的并.
商群
设GGG为一个群, N⊴GN\unlhd GN⊴G, 记G/N={aN∣a∈G}G/N=\{aN\,|\,a\in G\}G/N={aN∣a∈G}为NNN的所有陪集构成的集合, 定义一个二元运算:
(aN)∘(bN)=(ab)N,aN,bN∈G/N.(aN)\circ(bN)=(ab)N,\quad aN,bN\in G/N. (aN)∘(bN)=(ab)N,aN,bN∈G/N.
设GGG为一个群, N⊴GN\unlhd GN⊴G, 那么G/NG/NG/N关于上式定义的二元运算构成一个群, 称为GGG关于NNN的商群.
一个具体的例子: 对称群S3\mathcal{S}_3S3关于正规子群A3\mathcal{A}_3A3(交错群)的商群.
直接计算得到:
S3/A3={A3,(12)A3}={A3,(13)A3}={A3,(23)A3}={{(1),(123),(132)},{(12),(13),(23)}}≅A2=C2,∣S3/A3∣=∣S3∣∣A3∣=6/3=2.\begin{aligned} \mathcal{S}_3/\mathcal{A}_3&=\{\mathcal{A}_3,\,(12)\mathcal{A}_3\}=\{\mathcal{A}_3,\,(13)\mathcal{A}_3\}=\{\mathcal{A}_3,\,(23)\mathcal{A}_3\}\\ &=\{\{(1),(123),(132)\},\{(12),(13),(23)\}\}\\ &\cong \mathcal{A}_2=C_2,\\[5pt] |\mathcal{S}_3/\mathcal{A}_3|&=\dfrac{|\mathcal{S}_3|}{|\mathcal{A}_3|}=6/3=2. \end{aligned} S3/A3∣S3/A3∣={A3,(12)A3}={A3,(13)A3}={A3,(23)A3}={{(1),(123),(132)},{(12),(13),(23)}}≅A2=C2,=∣A3∣∣S3∣=6/3=2.
补充
置换σ\sigmaσ与πσπ−1π\sigmaπ^{-1}πσπ−1的关系:
对任意一个轮换σ=(i1i2⋯ir)\sigma=(i_1i_2\cdots i_r)σ=(i1i2⋯ir), 计算πσπ=π(i1i2⋯ir)π−1π \sigma π =π (i_1i_2\cdots i_r)π ^{-1}πσπ=π(i1i2⋯ir)π−1, 设π(ik)=jk,∀k=1,2,...,r−1π (i_k)=j_k,\forall k=1,2,...,r-1π(ik)=jk,∀k=1,2,...,r−1
{(π(i1i2⋯ir)π−1)(jk)=jk+1,k=1,2,⋯,r−1,(π(i1i2⋯ir)π−1)(jr)=j1,\begin{cases} (\pi (i_1i_2\cdots i_r)\pi^{-1})(j_k)=j_{k+1},\ k=1,2,\cdots,r-1,\\ (\pi(i_1i_2\cdots i_r)\pi^{-1})(j_r)=j_1, \end{cases} {(π(i1i2⋯ir)π−1)(jk)=jk+1, k=1,2,⋯,r−1,(π(i1i2⋯ir)π−1)(jr)=j1,
而π(i1i2⋯ir)π−1π (i_1i_2\cdots i_r)π ^{-1}π(i1i2⋯ir)π−1保持其余的数不动, 所以有
π(i1i2⋯ir)π−1=(j1j2⋯jr)=((π(i1)π(i2)⋯π(ir))).\pi(i_1i_2\cdots i_r)\pi^{-1}=(j_1j_2\cdots j_r)=((\pi(i_1)\pi(i_2)\cdots \pi(i_r))). π(i1i2⋯ir)π−1=(j1j2⋯jr)=((π(i1)π(i2)⋯π(ir))).
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