代数学笔记11: 分圆域,分圆多项式,求解17次方程

问题引入

考虑问题:f(x)=xn−1∈F[x]f(x)=x^n-1\in F[x]f(x)=xn−1∈F[x], EEE为FFF关于fff的分裂域, 则Gf=Gal(E/F)=?G_f=\text{Gal}(E/F)=?Gf=Gal(E/F)=?

研究思路

假设xn−1=(x−α1)⋯(x−αn),αi∈Ex^n-1=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n),\alpha_i\in Exn−1=(x−α1)⋯(x−αn),αi∈E, 则

αi\alpha_iαi两两不同,

方程没有重根, ∵(f(x),f′(x))=(xn−1,nxn−1)=1\because (f(x),f'(x))=(x^n-1,nx^{n-1})=1∵(f(x),f′(x))=(xn−1,nxn−1)=1.
xn−1x^n-1xn−1可约, xn−1=(x−1)(xn−1+⋯+1)x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+\cdots+1)xn−1=(x−1)(xn−1+⋯+1).
G=({α1,⋯,αn},∘)G=(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\},\circ)G=({α1,⋯,αn},∘)是(E∗,∘)(E^*,\circ)(E∗,∘)的子群(E∗E^*E∗表示EEE的所有非零元,GGG是nnn阶交换群)
只需证明∀αi,αj∈G\forall \alpha_i,\alpha_j\in G∀αi,αj∈G, 有αiαj∈G\alpha_i\alpha_j\in Gαiαj∈G, 且αi−1∈G\alpha_i^{-1}\in Gαi−1∈G.(运算封闭, 存在逆元)
- αi∈G⟺αin=1⟺(αi−1)n=1⟺αi−1∈G\alpha_i\in G\iff \alpha_i^n=1\iff (\alpha_i^{-1})^n=1\iff \alpha_i^{-1}\in Gαi∈G⟺αin=1⟺(αi−1)n=1⟺αi−1∈G.
- αi∈G,αj∈G⟺αin=αjn=1⟺(αiαj)n=1⟺αiαj∈G\alpha_i\in G,\alpha_j\in G\iff \alpha_i^n=\alpha_j^n=1\iff(\alpha_i\alpha_j)^n=1\iff \alpha_i\alpha_j\in Gαi∈G,αj∈G⟺αin=αjn=1⟺(αiαj)n=1⟺αiαj∈G.
G≅Z/d1Z×⋯×Z/dsZ,(d1∣d2,⋯,ds−1∣ds,d1⋯ds=n)G\cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times\cdots\times \mathbb{Z}/d_s\mathbb{Z},\ (d_1|d_2,\cdots,d_{s-1}|d_s,d_1\cdots d_s=n)G≅Z/d1Z×⋯×Z/dsZ, (d1∣d2,⋯,ds−1∣ds,d1⋯ds=n).
s=1s=1s=1时,ds=nd_s=nds=n,GGG为nnn阶循环群Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}Z/nZ.
GGG中每个元素均为dsd_sds的因子, 即gds=1,∀g∈Gg^{d_s}=1,\forall g\in Ggds=1,∀g∈G, xds=1x^{d_s}=1xds=1在EEE中至多有dsd_sds个根.
G=⟨ξ⟩G=\langle\xi\rangleG=⟨ξ⟩, 生成元称为nnn次本原单位根, 即1,ξ,ξ2,⋯,ξn−11,\xi,\xi^2,\cdots,\xi^{n-1}1,ξ,ξ2,⋯,ξn−1为nnn个根.
E=F(ξ,ξ2,⋯,ξn−1,1)=F(ξ)E=F(\xi,\xi^2,\cdots,\xi^{n-1},1)=F(\xi)E=F(ξ,ξ2,⋯,ξn−1,1)=F(ξ), GfG_fGf中任意元素ρ\rhoρ:
ρi:E=F(ξ)⟶E(域同构)ξ⟼ξi(ξ在F上的极小多项式p(x)的根)\begin{aligned} \rho_i:E=F(\xi)&\longrightarrow E(域同构)\\ \xi&\longmapsto \xi^i\ (\xi在F上的极小多项式p(x)的根) \end{aligned} ρi:E=F(ξ)ξ⟶E(域同构)⟼ξi (ξ在F上的极小多项式p(x)的根)
显然p(x)∣xn−1p(x)|x^n-1p(x)∣xn−1, p(x)=0p(x)=0p(x)=0的根是xn−1=0x^n-1=0xn−1=0根的一部分, 所以可以写成ξi\xi^iξi的形式.
φ:G⟶((Z/nZ)∗,∘)ρi⟼iˉ\begin{aligned} \varphi:G\longrightarrow&((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,\circ)\\ \rho_i\longmapsto&\bar i \end{aligned} φ:G⟶ρi⟼((Z/nZ)∗,∘)iˉ

(Z/nZ)∗(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*(Z/nZ)∗表示模nnn剩余类中所有的乘法可逆元(与nnn互素的因子),这样才关于乘法构成群.

如果GGG中元素满足ρi⋅ρj=ρk\rho_i\cdot\rho_j=\rho_kρi⋅ρj=ρk, 则i⋅j=ki\cdot j=ki⋅j=k.

ρi⋅ρj(ξ)=ρi(ξj)=(ρi(ξ))j=(ξi)j=ξi⋅j=ρi⋅j(ξ)\begin{aligned} \rho_i\cdot\rho_j(\xi)&=\rho_i(\xi^j)=\big(\rho_i(\xi)\big)^j\\ &=(\xi^i)^j=\xi^{i\cdot j}=\rho_{i\cdot j}(\xi) \end{aligned} ρi⋅ρj(ξ)=ρi(ξj)=(ρi(ξ))j=(ξi)j=ξi⋅j=ρi⋅j(ξ)

于是i⋅j=ki\cdot j=ki⋅j=k.

综上, 有
Gf≅((Z/nZ)∗,∘),G_f\cong((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*,\circ), Gf≅((Z/nZ)∗,∘),

分圆多项式

特别地,

F=CF=\mathbb{C}F=C, 极小多项式deg⁡p(x)=1\deg p(x)=1degp(x)=1, Gf={id}G_f=\{\text{id}\}Gf={id}.
F=RF=\mathbb{R}F=R, 极小多项式deg⁡p(x)=1or2\deg p(x)=1\ or\ 2degp(x)=1 or 2,
(x−ξ)(x−ξˉ),ξˉ=ξ−1,Gf={{id},n=1,2⟨−⟩=⟨−1‾⟩n≥3(x-\xi)(x-\bar \xi),\bar\xi=\xi^{-1}, \ G_f=\begin{cases}\{\text{id}\},&n=1,2\\\langle{}^-\rangle=\langle\overline{-1}\rangle&n\geq3\end{cases} (x−ξ)(x−ξˉ),ξˉ=ξ−1, Gf={{id},⟨−⟩=⟨−1⟩n=1,2n≥3
F=QF=\mathbb{Q}F=Q, p(x)=Φn(x)p(x)=\Phi_n(x)p(x)=Φn(x).
p(x)=Φn(x)=∏(i,n)=1(x−ξi),p(x)=\Phi_n(x)=\prod_{(i,n)=1}(x-\xi^i), p(x)=Φn(x)=(i,n)=1∏(x−ξi),

研究分圆多项式在有理数域Q\mathbb{Q}Q上的情况:
xn−1=∏d∣nΦd(x)=(x−1)⋯(x−ξn−1)=∏i=0n−1(x−ξi)=∏d∣n∏(i,n)=1(x−ξi)=Φab(x)\begin{aligned} x^n-1&=\prod_{d|n}\Phi_d(x)\\ &=(x-1)\cdots(x-\xi^{n-1})=\prod_{i=0}^{n-1}(x-\xi^i)\\ &=\prod_{d|n}\prod_{(i,n)=1}(x-\xi^i)=\Phi_{\frac ab}(x) \end{aligned} xn−1=d∣n∏Φd(x)=(x−1)⋯(x−ξn−1)=i=0∏n−1(x−ξi)=d∣n∏(i,n)=1∏(x−ξi)=Φba(x)
计算分圆多项式的例子:

例如: 当n=10n=10n=10时,
x10−1=Φ1(x)Φ2(x)Φ5(x)Φ10(x).x^{10}-1=\Phi_1(x)\Phi_2(x)\Phi_5(x)\Phi_{10}(x). x10−1=Φ1(x)Φ2(x)Φ5(x)Φ10(x).
下面计算前几项分圆多项式:

Φn(x)\Phi_n(x)Φn(x)	nnn	ddd
x−1x-1x−1	111	111
x+1x+1x+1	222	1,21,21,2
x3−1x−1=x2+x+1\dfrac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1x−1x3−1=x2+x+1	333	1,31,31,3
x2+1x^2+1x2+1	444	1,2,41,2,41,2,4
x4+x3+x2+x+1x^4+x^3+x^2+x+1x4+x3+x2+x+1	555	1,51,51,5
x2−x+1x^2-x+1x2−x+1	666	1,2,3,61,2,3,61,2,3,6

求解17次方程

对于17次方程x17−1=0x^{17}-1=0x17−1=0, 由前面讨论, Gf≅((Z/17Z)∗,∘),G_f\cong((\mathbb{Z}/17\mathbb{Z})^*,\circ),Gf≅((Z/17Z)∗,∘),为一个16阶循环群,
Gf≅((Z/17Z)∗,∘),=({1ˉ,2ˉ,⋯,16‾},∘)=(⟨3ˉ⟩,∘)=({3ˉ,3ˉ2,⋯,3ˉ15,1ˉ},∘)\begin{aligned} G_f&\cong((\mathbb{Z}/17\mathbb{Z})^*,\circ),\\ &=\big(\{\bar1,\bar2,\cdots,\overline{16}\},\circ\big)\\ &=(\langle\bar3\rangle,\circ)=\big(\{\bar3,\bar3^2,\cdots,\bar{3}^{15},\bar1\},\circ\big) \end{aligned} Gf≅((Z/17Z)∗,∘),=({1ˉ,2ˉ,⋯,16},∘)=(⟨3ˉ⟩,∘)=({3ˉ,3ˉ2,⋯,3ˉ15,1ˉ},∘)
(由于3与17互素, 所以可以作为生成元).

由此, 根据Galois理论, 得到:

其中, ⟨3ˉ⟩\langle\bar3\rangle⟨3ˉ⟩的阶数为161616, ⟨3ˉ2⟩,⟨3ˉ4⟩,⟨3ˉ8⟩\langle\bar3^2\rangle,\langle\bar3^4\rangle,\langle\bar3^8\rangle⟨3ˉ2⟩,⟨3ˉ4⟩,⟨3ˉ8⟩的阶数分别为8,4,28,4,28,4,2.

取E=Q(ξ)E=\mathbb{Q}(\xi)E=Q(ξ), ξ\xiξ在⟨3ˉ2⟩\langle\bar3^2\rangle⟨3ˉ2⟩作用下的轨道为:
ξ9,ξ13,ξ15,ξ16,ξ8,ξ4,ξ2,ξ,\xi^9,\xi^{13},\xi^{15},\xi^{16},\xi^8,\xi^4,\xi^2,\xi, ξ9,ξ13,ξ15,ξ16,ξ8,ξ4,ξ2,ξ,
嫌手算麻烦的话可以写个小程序来计算:

In [4]: for i in range(1, 9):...:     print(9**i%17)...:
9
13
15
16
8
4
2
1

另一条轨道是3ˉ⋅⟨3ˉ2⟩\bar3\cdot\langle\bar3^2\rangle3ˉ⋅⟨3ˉ2⟩作用下得到的:
ξ10,ξ5,ξ11,ξ14,ξ7,ξ12,ξ6,ξ3,\xi^{10},\xi^{5},\xi^{11},\xi^{14},\xi^7,\xi^{12},\xi^6,\xi^3, ξ10,ξ5,ξ11,ξ14,ξ7,ξ12,ξ6,ξ3,
同样地, 程序可以这样写:

In [5]: for i in range(1, 9):...:     print(3*9**i%17)...:
10
5
11
14
7
12
6
3

分别记为:
{α=ξ9+ξ13+ξ15+ξ16+ξ8+ξ4+ξ2+ξα′=ξ10+ξ5+ξ11+ξ14+ξ7+ξ12+ξ6+ξ3\begin{cases} \alpha=\xi^9+\xi^{13}+\xi^{15}+\xi^{16}+\xi^8+\xi^4+\xi^2+\xi\\ \alpha'=\xi^{10}+\xi^{5}+\xi^{11}+\xi^{14}+\xi^7+\xi^{12}+\xi^6+\xi^3 \end{cases} {α=ξ9+ξ13+ξ15+ξ16+ξ8+ξ4+ξ2+ξα′=ξ10+ξ5+ξ11+ξ14+ξ7+ξ12+ξ6+ξ3
于是可以得到:
{α+α′=−1=ξ+ξ2+⋯+ξ16α⋅α′=−4=4(ξ+ξ2+⋯+ξ16)\begin{cases} \alpha+\alpha'=-1=\xi+\xi^2+\cdots+\xi^{16}\\ \alpha\cdot\alpha'=-4=4(\xi+\xi^2+\cdots+\xi^{16}) \end{cases} {α+α′=−1=ξ+ξ2+⋯+ξ16α⋅α′=−4=4(ξ+ξ2+⋯+ξ16)

第一个式子可以从根与系数的关系显然得到
第二个式子需要计算(可能还有更好的办法?凑成4组, 每组有16项)

然后从上面两个式子中可以得到:
x2+x−4=0,⇒α,α′=−1±172,x^2+x-4=0,\Rightarrow \alpha,\alpha'=\frac{-1\pm\sqrt{17}}2, x2+x−4=0,⇒α,α′=2−1±17,

以此类推, 可以找到:
{β=ξ13+ξ16+ξ4+ξβ′=ξ15+ξ8+ξ2+ξ9\begin{cases} \beta=\xi^{13}+\xi^{16}+\xi^4+\xi\\ \beta'=\xi^{15}+\xi^{8}+\xi^{2}+\xi^9 \end{cases} {β=ξ13+ξ16+ξ4+ξβ′=ξ15+ξ8+ξ2+ξ9
然后得到:
{β+β′=αβ⋅β′=ξ+ξ2+⋯+ξ16=−1\begin{cases} \beta+\beta'=\alpha\\ \beta\cdot\beta'=\xi+\xi^2+\cdots+\xi^{16}=-1 \end{cases} {β+β′=αβ⋅β′=ξ+ξ2+⋯+ξ16=−1
得到:
x2−αx−1=0⇒β,β′=α±α2+42,x^2-\alpha x-1=0\Rightarrow \beta,\beta'=\frac{\alpha\pm\sqrt{\alpha^2+4}}2, x2−αx−1=0⇒β,β′=2α±α2+4,
以及
γ=ξ+ξ16,γ′=3ˉ4(ξ+ξ16)=13‾(ξ+ξ16)=ξ13+ξ4\gamma=\xi+\xi^{16},\gamma'=\bar3^4(\xi+\xi^{16})=\overline{13}(\xi+\xi^{16})=\xi^{13}+\xi^{4} γ=ξ+ξ16,γ′=3ˉ4(ξ+ξ16)=13(ξ+ξ16)=ξ13+ξ4
于是:
{γ+γ′=βγ⋅γ′=ξ5+ξ14+ξ3+ξ12=δ\begin{cases} \gamma+\gamma'=\beta\\ \gamma\cdot\gamma'=\xi^{5}+\xi^{14}+\xi^3+\xi^{12}=\delta \end{cases} {γ+γ′=βγ⋅γ′=ξ5+ξ14+ξ3+ξ12=δ
得到:
x2−βx−δ=0,⇒γ,γ′=β±β2+4δ2,x^2-\beta x-\delta=0,\Rightarrow \gamma,\gamma'=\frac{\beta\pm\sqrt{\beta^2+4\delta}}{2}, x2−βx−δ=0,⇒γ,γ′=2β±β2+4δ,

其中δ\deltaδ满足:
x2−α′x−1=0,x^2-\alpha'x-1=0, x2−α′x−1=0,
因为δ=ξ5+ξ14+ξ3+ξ12\delta=\xi^{5}+\xi^{14}+\xi^3+\xi^{12}δ=ξ5+ξ14+ξ3+ξ12, 而
δ′=3ˉ2δ=3ˉ2(ξ5+ξ14+ξ3+ξ12)=ξ11+ξ7+ξ10+ξ6,\delta'=\bar3^2\delta=\bar3^2(\xi^{5}+\xi^{14}+\xi^3+\xi^{12})=\xi^{11}+\xi^{7}+\xi^{10}+\xi^{6}, δ′=3ˉ2δ=3ˉ2(ξ5+ξ14+ξ3+ξ12)=ξ11+ξ7+ξ10+ξ6,
于是:
{δ+δ′=α′δ⋅δ′=−1\begin{cases} \delta+\delta'=\alpha'\\ \delta\cdot\delta'=-1 \end{cases} {δ+δ′=α′δ⋅δ′=−1
由此我们得到了:
x2−α′x−1=0,⇒δ,δ′=α′±α′2+42.x^2-\alpha' x-1=0,\Rightarrow \delta,\delta'=\frac{\alpha'\pm\sqrt{\alpha'^2+4}}2. x2−α′x−1=0,⇒δ,δ′=2α′±α′2+4.

于是通过求解一系列二次方程, 我们得到了十七次方程的根式解, 其中, 中间域分别为:
{M1=Q(α)M2=Q(β)M3=Q(γ)\begin{cases} M_1=\mathbb{Q}(\alpha)\\ M_2=\mathbb{Q}(\beta)\\ M_3=\mathbb{Q}(\gamma) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧M1=Q(α)M2=Q(β)M3=Q(γ)
如果取ξ=cos⁡217π+isin⁡217π\xi=\cos \frac2{17}\pi+\rm{i}\sin\frac2{17}\piξ=cos172π+isin172π, 则
γ=ξ+ξ16=cos⁡217π+isin⁡217π=cos⁡217π+isin⁡217π+cos⁡3217π+isin⁡3217π=cos⁡217π+isin⁡217π+cos⁡217π−isin⁡217π=2cos⁡217π\begin{aligned} \gamma&=\xi+\xi^{16}=\cos \frac2{17}\pi+\rm{i}\sin\frac2{17}\pi\\ &=\cos \frac2{17}\pi+\rm{i}\sin\frac2{17}\pi+\cos \frac{32}{17}\pi+\rm{i}\sin\frac{32}{17}\pi\\ &=\cos \frac2{17}\pi+\rm{i}\sin\frac2{17}\pi+\cos \frac{2}{17}\pi-\rm{i}\sin\frac{2}{17}\pi\\ &=2\cos\frac2{17}\pi \end{aligned} γ=ξ+ξ16=cos172π+isin172π=cos172π+isin172π+cos1732π+isin1732π=cos172π+isin172π+cos172π−isin172π=2cos172π
于是我们只要计算出γ\gammaγ的值, 我们就可以通过尺规作图得到正十七边形. 但是高斯在群论发明出来之前已经得到了正十七边形的做法, 不得不说高斯是一位十分伟大的数学家.

附:
cos⁡217π=−116+11617+11634−217+1817+317−34−217−234+217,\cos\frac2{17}\pi=-\frac1{16}+\frac1{16}\sqrt{17}+\frac1{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\frac18\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}, cos172π=−161+16117+16134−217+8117+317−34−217−234+217,
有兴趣的话大家可以试试.