写在前面

之前我已经介绍了有关代数学第一部分域扩张的简单总结, 今天重新听了一遍老师的复习课, 对之前内容的理解又有了加深, 所以赶紧趁热打铁总结一下, 增加一些高等代数中的有关概念, 以及域扩张中的一些基本定理的证明.

高等代数补充概念

零化多项式:

设VVV是域FFF上的线性空间(可以是无限维的),A\bf AA是VVV上的一个线性变换(矩阵). 如果FFF上的一元多项式f(x)f(x)f(x)使得f(A)=0f(\bf{A})=0f(A)=0, 那么称f(x)f(x)f(x)是A\bf AA的一个零化多项式.

抽代定义

代数元与单代数扩张

设EEE是域FFF的扩张, α∈E\alpha\in Eα∈E, 如果存在FFF上的非零多项式f(x)f(x)f(x),使得f(α)=0f(\alpha)=0f(α)=0, 那么α\alphaα称为FFF上的代数元(algebraic element). F(α)F(\alpha)F(α)称为FFF上的一个单代数扩张.
超越元和单超越扩张

如果对于FFF上任意一个非零多项式g(x)g(x)g(x), 都有g(α)≠0g(\alpha)\not=0g(α)=0, 那么称α\alphaα为域FFF上的一个超越元. 这时 F(α)F(\alpha)F(α)称为FFF上的一个单超越扩张.
极小多项式

设EEE是域FFF的扩张,α∈Ｅ\alpha\in Ｅα∈Ｅ是FFF上的一个代数元, 那么F[x]F[x]F[x]中使得p(α)=0p(\alpha)=0p(α)=0的次数最小的首1多项式
p(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 p(x)=xn+an−1xn−1+⋯+a0
叫做α\alphaα在FFF上的极小多项式.

基本引理

域扩张中极小多项式整除零化多项式

设EEE是域FFF的扩张,α∈Ｅ\alpha\in Ｅα∈Ｅ是FFF上的一个代数元, 如果p(x)p(x)p(x)是α\alphaα在FFF上的极小多项式, f(x)∈F[x]f(x)\in F[x]f(x)∈F[x]是α\alphaα 的零化多项式, 则有p(x)∣f(x)p(x)\,|\,f(x)p(x)∣f(x).

Pf:

由多项式的带余除法, 可设f(x)=p(x)q(x)+r(x)f(x)=p(x)q(x)+r(x)f(x)=p(x)q(x)+r(x), 其中余式r(x)r(x)r(x)等于零或不等于零, 且有deg⁡p(x)>deg⁡r(x)\deg p(x)>\deg r(x)degp(x)>degr(x).

如果r(x)≠0r(x)\ne0r(x)=0, 因为r(α)=f(α)−p(α)q(α)=0r(\alpha)=f(\alpha)-p(\alpha)q(\alpha)=0r(α)=f(α)−p(α)q(α)=0, 于是r(x)r(x)r(x)也是α\alphaα的零化多项式, 与p(x)p(x)p(x)是极小多项式矛盾, 于是r(x)=0r(x)=0r(x)=0, p(x)∣f(x)p(x)\,|\,f(x)p(x)∣f(x).

域扩张主要内容

扩域可以看成子域上的线性空间, 这是理解扩域的一个基本的方法.

干域定义

干域(stem field, 也称为单扩张)

f(x)∈K[x]f(x)\in K[x]f(x)∈K[x]为nnn次不可约多项式(n⩾2n\geqslant2n⩾2), 必存在KKK的扩域LLL, 使得f(x)=0f(x)=0f(x)=0在LLL中至少有一个根, 则K(α)K(\alpha)K(α)为LLL中关于KKK上不可约多项式fff的干域. 其中, [K(α):K]=n[K(\alpha):K]=n[K(α):K]=n.

干域的存在唯一性

存在性

由加法和乘法构成域.

唯一性

不同单扩张之间互相同构. 这里的同构是通过域同态定义的.

设f(x)∈F[x]f(x)\in F[x]f(x)∈F[x]是一个首1不可约多项式, 若存在干域E(α)E(\alpha)E(α), 考虑多项式环F[x]F[x]F[x]上的满同态
F[x]→Eg(X)↦g(α)\begin{aligned} F[x]&\to E\\ g(X)&\mapsto g(\alpha)\\ \end{aligned} F[x]g(X)→E↦g(α)
其核(kernel)由fff的一个非零首一多项式(亦即极小多项式)生成(需要用到环同态基本定理), 因此
F[x]→Ex↦αwhereF[x]=F[X]/(f).\begin{aligned} F[x]&\to E\\ x&\mapsto \alpha\\ \end{aligned} \qquad where\,F[x]=F[X]/(f). F[x]x→E↦αwhereF[x]=F[X]/(f).
fff的干域E(α)E(\alpha)E(α)与标准干域F[X]/(f)(x)F[X]/(f)(x)F[X]/(f)(x)是F−F-F−同构的.

不可约多项式fff可以写成:
a0+a1α+⋯+am−1αm−1,ai∈F,m=deg⁡f.a_0+a_1\alpha+\cdots+a_{m-1}\alpha^{m-1}, a_i\in F, m=\deg f. a0+a1α+⋯+am−1αm−1,ai∈F,m=degf.

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