【学习笔记】群论基础

1.1 1.1 1.1 群： G G G是一个群需要满足：结合律，存在单位元， G G G中所有元素都有逆元
1.2 1.2 1.2 阶：当群的元素个数是有限多个时，群的阶就是元素的个数。元素的阶就是最小的正整数 k k k使得 x k = e x^k=e xk=e。
1.3 1.3 1.3 子群的判定 ：如果 H H H是 G G G的非空子集，那么 H H H是 G G G的子群当且仅当对于任意的 a , b ∈ H a,b\in H a,b∈H，有 a b − 1 ∈ H ab^{-1}\in H ab−1∈H。当然 e e e肯定在 H H H中。
1.4 1.4 1.4 子群的构造 ：

设 G G G是群， a ∈ G a\in G a∈G。定义 ⟨ a ⟩ = { a i ∣ i ∈ Z } \left\langle a\right\rangle=\{a^i|i\in \cal Z\} ⟨a⟩={ai∣i∈Z}， ⟨ a ⟩ \left\langle a\right\rangle ⟨a⟩是 G G G的子群，称 ⟨ a ⟩ \left\langle a\right\rangle ⟨a⟩是由 a a a生成的子群。

定义 N ( a ) = { x ∣ x ∈ G 且 x a = a x } N(a)=\{x|x\in G且xa=ax\} N(a)={x∣x∈G且xa=ax}， N ( a ) N(a) N(a)是 G G G的子群，称 N ( a ) N(a) N(a)是 G G G的正规化子

设 H H H是 G G G的子群， x ∈ G x\in G x∈G，定义 x H x − 1 = { x h x − 1 ∣ h ∈ H } xHx^{-1}=\{xhx^{-1}|h\in H\} xHx−1={xhx−1∣h∈H}， x H x − 1 xHx^{-1} xHx−1也是 G G G的子群，称为 H H H的共轭子群

设 G G G是群， a ∈ G a\in G a∈G， H H H, K K K都是 G G G的子群，那么 H ∩ K H\cap K H∩K也是 G G G的子群， H ∪ K H\cup K H∪K是 G G G的子群当且仅当发生退化（或者说如果不是完全包含就不构成子群）

1.5 1.5 1.5 循环群：

若 G = ⟨ a ⟩ = { a i ∣ i ∈ Z } G=\left\langle a\right\rangle=\{a^i|i\in \cal Z\} G=⟨a⟩={ai∣i∈Z}，则称 G G G为循环群， a a a为生成元

n n n阶循环群和装备了加法的 m o d n \bmod \ n mod n的剩余系同构，无穷多个元素的循环群和装备了加法的整数集合同构，这是我们所熟悉的。

1.6 1.6 1.6 置换群：
定义 S n S_n Sn表示所有 n n n元排列，称 S n S_n Sn的子群为 n n n元置换群。

1.7 1.7 1.7 群的陪集分解：
设 G G G是群，设 H H H是 G G G的子群， a ∈ G a\in G a∈G，定义 H a = { h a ∣ h ∈ H } Ha=\{ha|h\in H\} Ha={ha∣h∈H}，称 H a Ha Ha是子群 H H H在 G G G中的一个右陪集。

显然 H e = H , a ∈ H a He=H,a\in Ha He=H,a∈Ha。

∀ a ∈ G \forall a\in G ∀a∈G，有 H H H与 H a Ha Ha等势。构造双射函数即可。这说明在有限集的情况下， H H H与 H a Ha Ha的阶相同。

∀ a , b ∈ G \forall a,b\in G ∀a,b∈G，有 a ∈ H b ⇔ H a = H b ⇔ a b − 1 ∈ H a\in Hb\Leftrightarrow H_a=H_b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H a∈Hb⇔Ha=Hb⇔ab−1∈H

这启发我们定义等价关系，并且进行等价类分解。

这样我们得到 lagrange \text{lagrange} lagrange定理：

设 G G G是有限群， H H H是 G G G的子群，则 G G G的阶一定是 H H H的阶的倍数，可以将 G G G分成 ∣ G ∣ ∣ H ∣ \frac{|G|}{|H|} ∣H∣∣G∣个等价类，每个等价类满足上述性质。

1.8 1.8 1.8 群的共轭类分解：
设 G G G是群，对于任意的 a , b ∈ G a,b\in G a,b∈G，定义 b b b是 a a a的共轭当且仅当存在 x ∈ G x\in G x∈G使得 b = x a x − 1 b=xax^{-1} b=xax−1。

可以证明共轭关系也是等价关系，可以进行共轭类分解。特别的， e e e单独构成一个等价类。

若 G G G是有穷元素构成的群，那么 a a a所在的共轭类大小等于 G G G的阶除以 N ( a ) N(a) N(a)的阶。

证明：任取 x , y ∈ G x,y\in G x,y∈G， x a x − 1 = y a y − 1 ⇔ a x − 1 y = x − 1 y a ⇔ x − 1 y ∈ N ( a ) ⇔ x N ( a ) = y N ( a ) xax^{-1}=yay^{-1}\Leftrightarrow ax^{-1}y=x^{-1}ya\Leftrightarrow x^{-1}y\in N(a)\Leftrightarrow xN(a)=yN(a) xax−1=yay−1⇔ax−1y=x−1ya⇔x−1y∈N(a)⇔xN(a)=yN(a)

这说明 a a a的不同共轭的数量是 G G G关于 N ( a ) N(a) N(a)的陪集分解的等价类的数量，也就是 ∣ G ∣ ∣ N ( a ) ∣ \frac{|G|}{|N(a)|} ∣N(a)∣∣G∣。

1.9 1.9 1.9 轨道-稳定子群定理：
设 G G G是 A A A上的有穷置换群， a ∈ A a\in A a∈A。定义 G a = { g ∣ g ∈ G 且 g ( a ) = a } G^a=\{g|g\in G且g(a)=a\} Ga={g∣g∈G且g(a)=a}，称 G a G^a Ga为 a a a的稳定子群。定义 G ( a ) = { g ( a ) ∣ g ∈ G } G(a)=\{g(a)|g\in G\} G(a)={g(a)∣g∈G}，称 G ( a ) G(a) G(a)为 a a a的轨道。

轨道-稳定子群定理： ∣ G ∣ = ∣ G a ∣ ∣ G ( a ) ∣ |G|=|G^a||G(a)| ∣G∣=∣Ga∣∣G(a)∣

证明：首先 G a G^a Ga为 G G G的子群，考虑陪集分解，任取 x , y ∈ G x,y\in G x,y∈G， x ( a ) = y ( a ) ⇔ x − 1 ( y ( a ) ) = a ⇔ x − 1 y ∈ G a ⇔ x G a = y G a x(a)=y(a)\Leftrightarrow x^{-1}(y(a))=a\Leftrightarrow x^{-1}y\in G^a\Leftrightarrow xG^a=yG^a x(a)=y(a)⇔x−1(y(a))=a⇔x−1y∈Ga⇔xGa=yGa

这说明 ∣ G ( a ) ∣ |G(a)| ∣G(a)∣是 G G G关于 G a G^a Ga的陪集分解的等价类数量。

2.0 2.0 2.0 Burnside \text{Burnside} Burnside引理：

由 ∣ G ∣ = ∣ G a ∣ ∣ G ( a ) ∣ |G|=|G^a||G(a)| ∣G∣=∣Ga∣∣G(a)∣有 ∣ G a ∣ = ∣ G ∣ G ( a ) |G^a|=\frac{|G|}{G(a)} ∣Ga∣=G(a)∣G∣

对所有 a ∈ A a\in A a∈A求和，有 ∑ a ∈ A ∣ G a ∣ = ∑ a ∈ A ∣ G ∣ G ( a ) = ∣ G ∣ ∣ A / G ∣ \sum_{a\in A}|G^a|=\sum_{a\in A}\frac{|G|}{G(a)}=|G||A/G| ∑a∈A∣Ga∣=∑a∈AG(a)∣G∣=∣G∣∣A/G∣

其中 ∣ A / G ∣ |A/G| ∣A/G∣表示本质不同的数量，也就是答案。

记 A g = { a ∣ g ( a ) = a } A^g=\{a|g(a)=a\} Ag={a∣g(a)=a}，那么上式可以写成 ∑ g ∈ G ∣ A g ∣ = ∣ G ∣ ∣ A / G ∣ \sum_{g\in G} |A^g|=|G||A/G| ∑g∈G∣Ag∣=∣G∣∣A/G∣，证毕。

2.1 2.1 2.1 Polya \text{Polya} Polya定理：对于有 m m m中原色的染色问题， ∣ A g ∣ = m c ( g ) |A^g|=m^{c(g)} ∣Ag∣=mc(g)，其中 c ( g ) c(g) c(g)指把 g g g这个置换拆成不相交循环的个数。

2.2 2.2 2.2 在 m o d p \bmod p modp意义下找两个 n n n阶方阵 A , B A,B A,B使得 ∣ B ∣ ≠ 0 |B|\ne 0 ∣B∣=0且 A = B A A=BA A=BA，求出 ⟨ A , B ⟩ \left\langle A,B\right\rangle ⟨A,B⟩的数目，对 998244353 998244353 998244353取模。 n ≤ 3 × 1 0 7 , p ≤ 1 0 9 n\le 3\times 10^7,p\le 10^9 n≤3×107,p≤109且 p p p为质数。

相当困难的题目。将 ∣ B ∣ ≠ 0 |B|\ne 0 ∣B∣=0的矩阵看成一个群（显然有逆），那么 A = B A A=BA A=BA其实就是在算不动点的数量。考虑反用 Burnside \text{Burnside} Burnside引理，我们有 ∑ ∣ A g ∣ = ∣ G ∣ ∣ G / A ∣ \sum |A^g|=|G||G/A| ∑∣Ag∣=∣G∣∣G/A∣。

2.2.1 2.2.1 2.2.1 考虑依次加入向量。假设之前加入了 i i i个线性无关的向量，那么能张成 p i p^i pi个不同向量，新的向量不能与之重复，因此方案数是 p n − p i p^n-p^i pn−pi。所以 ∣ G ∣ = ∏ i = 0 n − 1 ( p n − p i ) |G|=\prod_{i=0}^{n-1}(p^n-p^i) ∣G∣=∏i=0n−1(pn−pi)
2.2.2 2.2.2 2.2.2 若 ∃ ∣ B ∣ ≠ 0 \exist |B|\ne 0 ∃∣B∣=0，使得 A = B C A=BC A=BC，那么 A A A, C C C本质相同，考虑何时 A A A, C C C相同，首先 rank ( A ) = rank ( C ) \text{rank}(A)=\text{rank}(C) rank(A)=rank(C)，其次把 A A A, C C C看成 n n n个行向量堆叠起来的话，会发现 A i A_i Ai是 { C i } \{C_i\} {Ci}线性组合，因此 { A i } \{A_i\} {Ai}构成的子空间是被 { C i } \{C_i\} {Ci}包住的，又因为两者维度相同，因此等价于两者属于同一线性空间。

枚举 rank(A)=k \text{rank(A)=k} rank(A)=k，那么我们只要算 k k k维子空间的数目即可。子空间的定义很抽象，我们可以先考虑算基的数目。显然这等于 ∏ i = 0 k − 1 ( p n − p i ) \prod_{i=0}^{k-1}(p^n-p^i) ∏i=0k−1(pn−pi)，又因为同一个 k k k维子空间的基的选取有 ∏ i = 0 k − 1 ( p k − p i ) \prod_{i=0}^{k-1}(p^k-p^i) ∏i=0k−1(pk−pi)种，因此相除即可。

具体计算过程这里不再赘述。

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