经典回溯算法（八皇后问题）详解

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：

在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上

（斜率为1），问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。

1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。

计算机发明后，有多种方法可以解决此问题。

算法思路：

　 首先我们分析一下问题的解，我们每取出一个皇后，放入一行，共有八种不同的放法，

然后再放第二个皇后，同样如果不考虑规则，还是有八种放法。

于是我们可以用一个八叉树来描述这个过程。从根节点开始，树每增加一层，便是多放一个皇后，

直到第8层（根节点为0层），最后得到一个完全八叉树。　　

紧接着我们开始用深度优先遍历这个八叉树，在遍历的过程中，进行相应的条件的判断。以便去掉不合规则的子树。

　那么具体用什么条件来进行子树的裁剪呢？

　我们先对问题解的结构做一个约定。

　用X[i]来表示，在第i行，皇后放在了X[i]这个位置。

　于是我们考虑第一个条件，不能再同一行，同一列于是我们得到x[i]不能相同。

剩下一个条件是不能位于对角线上，这个条件不是很明显，我们经过分析得到，

设两个不同的皇后分别在j，k行上，x[j],x[k]分别表示在j,k行的那一列上。

那么不在同一对角线的条件可以写为abs((j-k))!=abs(x[j]-x[k])，其中abs为求绝对值的函数。

#include<iostream>
using namespace std;
int num;
int *x;
int sum;
bool place(int k)
{for(int j = 1;j<k;j++)if(abs(x[k] - x[j]) == abs(k-j)||x[j] == x[k])return false;return true;}
void backtrack(int t)
{if(t>num) //num为皇后的数目{sum++;//sum为所有的可行的解for(int m = 1;m<=num;m++){cout<<"<"<<m<<","<<x[m]<<">";//这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解}cout<<endl;}elsefor(int i = 1;i<=num;i++){x[t] = i;if(place(t)) backtrack(t+1);//此处的place函数用来进行我们上面所说的条件的判断，如果成立，进入下一级递归}
}
void main()
{num = 8;sum = 0;x = new int[num+1];for(int i= 0;i<=num;i++)x[i] = 0;backtrack(1);cout<<"方案共有"<<sum<<endl;delete []x;}

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