一、全序关系 ( 线序关系 )

AAA 集合与该集合之上的偏序关系 ≼\preccurlyeq≼ 组成的有序对是 : <A,≼><A, \preccurlyeq><A,≼> 偏序集 ;

AAA 集合中任意元素 x,yx, yx,y 都可比 ;

则称 ≼\preccurlyeq≼ 关系是 AAA 集合上的全序关系, 又称为线序关系 ;

称 <A,≼><A, \preccurlyeq><A,≼> 为全序集 ( 线序集 ) ;

<A,≼><A, \preccurlyeq><A,≼> 偏序集是全序集

当且仅当

<A,≼><A, \preccurlyeq><A,≼> 偏序集的哈斯图是一条直线

二、全序关系示例

非空集合 AAA 包含于实数集 RRR , ∅≠A⊆R\varnothing \not= A \subseteq R∅=A⊆R ,

AAA 集合上的大于等于 ≥\geq≥ , 小于等于 ≤\leq≤ 都是 AAA 集合上的全序关系 ,

<A,≤><A , \leq><A,≤> , <A,≥><A , \geq><A,≥> 是全序集 ;

哈斯图是一条直线 ;

三、拟序关系

非空集合 AAA , 二元关系 RRR 是 AAA 集合上的二元关系 ;

符号化表示 : A≠∅A \not= \varnothingA=∅ , R⊆A×AR \subseteq A \times AR⊆A×A ;

如果二元关系 RRR 是反自反 , 传递的 ,

则称 RRR 关系是 AAA 集合上的拟序关系 ,

使用 ≺\prec≺ 表示拟序关系 ,

称 <A,≺><A , \prec><A,≺> 是拟序集 ;

偏序关系 ≼\preccurlyeq≼ 是小于等于关系 , 拟序关系 ≺\prec≺ 就是严格小于关系 ;

拟序关系示例 : 大于 , 小于 , 真包含 , 都是拟序关系 ;

拟序关系完整的性质是反自反 , 反对称 , 传递 ,
之所以概念中没有提反对称性质 , 是因为根据反自反 , 传递性质 , 可以推导出反对称性质 ;

数学中倾向于使用最小的条件进行定义 , 因此这里将反对称性去掉 ;

四、拟序关系定理 1

非空集合 AAA , A≠∅A \not= \varnothingA=∅ ,

≼\preccurlyeq≼ 是非空集合 AAA 上的偏序关系 ,

≺\prec≺ 是非空集合 AAA 上的拟序关系 ;

① 偏序关系性质 : ≼\preccurlyeq≼ 是自反 , 反对称 , 传递的

② 拟序关系性质 : ≺\prec≺ 是反自反 , 反对称 , 传递的

③ 偏序关系 -> 拟序关系 : 偏序关系减去恒等关系就是拟序关系 , ≼−IA=≺\preccurlyeq - I_A = \prec≼−IA=≺

④ 拟序关系 -> 偏序关系 : 拟序关系与恒等关系的并集就是偏序关系 , ≺∪IA=≼\prec \cup I_A = \preccurlyeq≺∪IA=≼ ;

四、拟序关系定理 2

非空集合 AAA , A≠∅A \not= \varnothingA=∅ ,

≺\prec≺ 是非空集合 AAA 上的拟序关系 ;

① x≺yx \prec yx≺y , x=yx=yx=y , y≺xy \prec xy≺x 中最多有一个成立 ;

使用反证法 , 任意两个成立都会导致 x≺xx \prec xx≺x ;

② (x≺y∧x=y)∧(y≺x∧x=y)⇒x=y(x\prec y \land x = y) \land (y \prec x \land x=y) \Rightarrow x = y(x≺y∧x=y)∧(y≺x∧x=y)⇒x=y

五、三歧性、拟线序

非空集合 AAA , A≠∅A \not= \varnothingA=∅ ,

≺\prec≺ 是非空集合 AAA 上的拟序关系 ;

如果 x≺yx \prec yx≺y , x=yx=yx=y , y≺xy \prec xy≺x 中仅有一个城里 , 那么称 ≺\prec≺ 拟序关系具有三歧性 ;

有三歧性的逆序关系 ≺\prec≺ 称为 AAA 集合上的拟线序关系 , 又称为拟全序关系 ;

<A≺><A \prec><A≺> 被称为拟线序集 ;

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【集合论】序关系 ( 全序关系 | 全序集 | 全序关系示例 | 拟序关系 | 拟序关系定理 | 三歧性 | 拟线序关系 | 拟线序集 )

文章目录

一、全序关系 ( 线序关系 )

二、全序关系示例

三、拟序关系

四、拟序关系定理 1

四、拟序关系定理 2

五、三歧性、拟线序

【集合论】序关系 ( 全序关系 | 全序集 | 全序关系示例 | 拟序关系 | 拟序关系定理 | 三歧性 | 拟线序关系 | 拟线序集 )相关推荐

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