前言

小时候在直板手机上玩过这么一款叫做“汉诺塔”的游戏，游戏方式很简单，通过上下左右四个按键将一堆大小有序、垂直排列的圆盘从一根柱子上移动到另一根柱子上，小时候也懒得思考就是在瞎玩。现在用递归的思想来解决一下这个问题，我尽可能把我自己的理解方式通俗的讲给大家，如有不对的地方，请大家批评指正！

一、汉诺塔问题

我们就依照这个图上所说的64个圆片来解决问题（图片出处：刘铁猛老师）

二、问题思考

1.简单定义一下

这里为了表达更清楚，我们定义一下：
三根柱子分别为A柱，B柱，C柱。
P_x代表柱上的圆片，P₁代表从上至下第一个圆片（也就是最小的那个圆片），同理，P₆₄代表从上至下最后一个圆片（也就是最大的那个圆片）。
N_m~n代表把P_m与P_n（包括P_m和P_n本身）之间所有的圆片移动到另外一根柱子上所用的次数。
例如，N_1~63代表把P₁与P₆₃（包括P₁和P₆₃本身）之间所有的圆片移动到另一根柱子上所用的次数。

2.假设简单的情况

这里我们先来假设一种比较简单的情况，如图，三根柱子（A,B,C），3个圆盘，P₁，P₂，P₃

那么我们思考一下，想把全部的圆盘移动到另外一根柱子上需要怎么做？
首先：把P₁和P₂移动到C柱上，这样做的目的是为了把P₃暴露出来以便可以移动（这里先不管具体操作了多少步，而是从整体上考虑应该怎么做）

其次：把P₃移动到B柱上

最后：把P₁和P₂移动到B柱上

至此，我们一共做个3件事情：
1.把除了最大圆盘以外的其余圆盘从A柱移动到C柱（即：把P₁和P₂从A柱移动到C柱）
2.把最大圆盘从A柱移动到B柱（即：把P₃从A柱移动到B柱）
3.把除了最大圆盘以外的其余圆盘从C柱移回到B柱（即：把P₁和P₂从C柱移动到B柱）

到这里我们应该能发现两个比较重要的问题：
（1）如果我们把除最大圆盘以外的其他圆盘看作一个整体，那么这个整体被移动了两回（从A柱到C柱，从C柱到B柱），我们假设这个整体被移动一回所需要的次数为N
（2）当（1）中的整体被移动以后，所暴露出来最大的那个圆盘，只需要移动一次（从A柱到C柱）

so，我们完成整个流程所需要的次数是N+1+N（移动整体+移动最大的+移动整体）。
but，这个整体怎么办呢？这个整体就接着用这个方法再去解决，一层一层的，这就是递归的思想啦，我们接下来用题目的例子详细讲一下

3.推广

现在我们来看题目中的问题，64个圆盘，3根柱子

依照我们之前的思想，现在我们解决N_1~64（即：整体移动P₁至P₆₄所需次数）
（1.1）把P₁至P₆₃看作一个整体，移动到另外一个柱子上，所需次数为N_1~63
（1.2）接着移动P₆₄，所需次数为1次
（1.3）把P₁至P₆₃移动回来，所需次数为N_1~63
（1.4）N_1~64 = N_1~63 + 1 + N_1~63
N_1~63怎么算？（即：整体移动P₁至P₆₃所需次数）
（2.1）把P₁至P₆₂看作一个整体，移动到另外一个柱子上，所需次数为N_1~62
（2.2）接着移动P₆₃，所需次数为1次
（2.3）把P₁至P₆₂移动回来，所需次数为N_1~62
（2.4）N_1~63 = N_1~62 + 1 + N_1~62
N_1~62怎么算？（即：整体移动P₁至P₆₂所需次数）
·
·（…此处省略中间的步骤…）
·
N_1~2怎么算？（即：整体移动P₁至P₂所需次数）
（63.1）把P₁看作一个整体，移动到另外一个柱子上，所需次数为N₁
（63.2）接着移动P₂，所需次数为1次
（63.3）把P₁移动回来，所需次数为N₁
（63.4）N_1~2 = N₁ + 1 + N₁
N₁怎么算？（即：整体移动P₁所需次数）
（64.1）N₁就很简单了，那当然就是1啦！
（64.2）N_1~2 = N₁ + 1 + N₁

4.核心代码

        public int Hanoi(int num)//参数num代表圆盘数{if(num == 1){return 1;}else{//特别提醒：下面的result用的是int类型，如果参数num输入的是题目中的64，得到的结果是不正确的，因为已经超过了int类型的最大值，因此，需要变为long型或者double型来接收结果或者将参数num减小//1和2方法都可以，但2似乎更快？//1.int result = Hanoi(num - 1)  + 1 + Hanoi(num - 1);//2.int result = Hanoi(num - 1)*2 + 1;return result;}}

总结

本文简单介绍了递归思想在汉诺塔问题中的应用，文笔有限，若文章中有不当之处，还望各位批评指正！

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