HDU6760 Math is Simple 数学变形+莫比乌斯反演

题目描述

求
∑1≤a≤b≤n,gcd(a,b)=1,a+b≥n1ab\sum\limits_{1\leq a \le b \leq n,gcd(a,b)=1,a+b \geq n}\frac{1}{ab}1≤a≤b≤n,gcd(a,b)=1,a+b≥n∑ab1
1≤T≤1e4,1≤N≤1e81 \leq T \leq 1e4 , 1\leq N \leq 1e81≤T≤1e4,1≤N≤1e8

分析

有a+b≥na+b \geq na+b≥n，所以考虑和前一项作差。
fn=∑1≤a<b≤n,gcd(a,b)=1,a+b≥n1abf_n = \sum\limits_{1\leq a < b \leq n,gcd(a,b)=1,a+b \geq n}\frac{1}{ab}fn=1≤a<b≤n,gcd(a,b)=1,a+b≥n∑ab1
作差之后，少了个a+b=n−1a+b = n-1a+b=n−1，多了个b=nb=nb=n即：
fn=fn−1+∑1≤a<n,gcd(a,n)=11an−∑1≤a<b≤n,gcd(a,b)=1,a+b=n−11abf_n = f_{n-1} + \sum\limits_{1 \leq a < n,gcd(a,n)=1} \frac{1}{an} - \sum\limits_{1\leq a < b \leq n,gcd(a,b)=1,a+b = n-1}\frac{1}{ab}fn=fn−1+1≤a<n,gcd(a,n)=1∑an1−1≤a<b≤n,gcd(a,b)=1,a+b=n−1∑ab1
发现对于后面-的部分，设为gng_ngn有：
gn=∑1≤a<b≤n,gcd(a,b)=1,a+b=n1ab=1n∑1≤a<b≤n,gcd(a,b)=1,a+b=n1a+1b=1n∑1≤a<n,gcd(a,n)=11ag_n=\sum\limits_{1\leq a < b \leq n,gcd(a,b)=1,a+b = n}\frac{1}{ab} = \frac{1}{n}\sum\limits_{1\leq a < b \leq n,gcd(a,b)=1,a+b = n} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{n}\sum\limits_{1\leq a < n,gcd(a,n)=1} \frac{1}{a}gn=1≤a<b≤n,gcd(a,b)=1,a+b=n∑ab1=n11≤a<b≤n,gcd(a,b)=1,a+b=n∑a1+b1=n11≤a<n,gcd(a,n)=1∑a1
且上面式子的n≥3n\geq 3n≥3，当n=2n=2n=2时，g2=0g_2 = 0g2=0
发现跟前面那一项长的差不多，其实就是有：
fn=fn−1+gn−gn−1f_n= f_{n-1} + g_n-g_{n-1}fn=fn−1+gn−gn−1
将fn−1f_{n-1}fn−1再裂开，我们就有fn=f2+gn−g2=12+gnf_n = f_2 + g_n - g_2 = \frac{1}{2} + g_nfn=f2+gn−g2=21+gn
对于gng_ngn，有：
gn=1n∑i=1n1i∑d∣gcd(i,n)μ(d)=1n∑d∣nμ(d)dS(⌊nd⌋)g_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i}\sum\limits_{d|gcd(i,n)} \mu(d) = \frac{1}{n}\sum\limits_{d|n} \frac{\mu(d)}{d}S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)gn=n1i=1∑ni1d∣gcd(i,n)∑μ(d)=n1d∣n∑dμ(d)S(⌊dn⌋)
然后开一个1e81e81e8的数组，需要380MB380MB380MB的空间，所以我们可以预处理前缀和，然后对于每个nnn进行质因数分解，然后二进制枚举质因数即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define dep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
#define fi first
#define se second
#define CL clear
#define MP make_pair
#define PB push_back//#define int long longconst int N = (int) 1e8 + 10;
const int mod = (int) 998244353;using namespace std;typedef long long ll;inline int rd() {int p=0; int f=1; char ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-') f*=-1; ch=getchar();}while(ch>='0' && ch<='9'){p=p*10+ch-'0'; ch=getchar();}return p*f;
}int inv[N];ll qpow(ll x,ll k,ll mo) {ll s = 1;while(k) {if(k&1) s=1ll*s*x%mo;x=1ll*x*x%mo; k>>=1;}return s;
}vector<ll> fac;signed main() {inv[0] = inv[1] = 1;for(int i=2;i<=(int)(1e8);++i) inv[i] = (ll)(mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;for(int i=2;i<=(int)(1e8);++i) inv[i] = (inv[i-1] + inv[i]) % mod;int t = rd();while(t--) {ll n = rd(); ll ans = qpow(2,mod-2,mod); ll x = n;fac.CL(); for(ll i=2;i*i<=x;++i) if(x%i == 0) {fac.PB(i);while(x%i==0) x/=i;}if(x!=1) fac.PB(x);ll gn = 0;if(n>2) {for(ll i=0;i<(1<<fac.size());++i) {ll d = 1; ll s = 0;for(ll j=0;j<fac.size();++j) if(i&(1<<j)){d *= fac[j]; s++;}gn = (gn + 1ll * ((s&1) ? (-1) : 1) * qpow(d,mod-2,mod) % mod * inv[n/d] % mod) % mod;}gn = gn * qpow(n , mod-2 , mod) % mod;}else gn = 0;printf("%lld\n",(ans + gn + mod) % mod);}return 0;
}

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