BZOJ3309 DZY Loves Math（莫比乌斯反演+线性筛）

　　一通正常的莫比乌斯反演后，我们只需要求出g(n)=Σf(d)*μ(n/d)的前缀和就好了。

　　考虑怎么求g(n)。当然是打表啊。设n=∏p_i^a_i，n/d=∏p_i^b_i 。显然若存在b_i>1则这个d没有贡献。考虑b_i为0和1两种情况。如果只看a_i最小的质因子的选取情况，会发现大部分情况下其是0还是1，对f的取值是没有影响的，但会使μ取反，于是就抵消为0。而特殊情况即为所有a_i均相同，此时若所有b_i都取1会使f减少。与一般情况比较可以得到此时g(n)=(-1)^{质因子个数+1}。

　　然后就可以线性筛了。记录一下n去掉最小质因子后的数及最小质因子的幂次就可以了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{int x=0,f=1;char c=getchar();while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1;c=getchar();}while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();return x*f;
}
#define N 10000010
int T,prime[N],f[N],p[N],c[N],v[N],cnt=0;
bool flag[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("bzoj3309.in","r",stdin);freopen("bzoj3309.out","w",stdout);const char LL[]="%I64d\n";
#elseconst char LL[]="%lld\n";
#endifT=read();flag[1]=1;p[1]=1;c[1]=0;f[1]=0;for (int i=2;i<=N-10;i++){if (!flag[i]) prime[++cnt]=i,p[i]=1,c[i]=1,f[i]=1;for (int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N-10;j++){int t=prime[j]*i;flag[t]=1;if (i%prime[j]==0){p[t]=p[i];c[t]=c[i]+1;if (c[p[i]]==0) f[t]=1;else f[t]=(c[t]==c[p[i]]?-f[p[i]]:0);break;}p[t]=i;c[t]=1;if (c[i]==0) f[t]=1;else f[t]=(c[i]==1?-f[i]:0);}}for (int i=1;i<=N-10;i++) f[i]+=f[i-1];while (T--){int n=read(),m=read();long long ans=0;for (int i=1;i<=min(n,m);i++){int t=min(n/(n/i),m/(m/i));ans+=1ll*(f[t]-f[i-1])*(n/i)*(m/i);i=t;}printf(LL,ans);}return 0;
}

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