计算复杂性第九章—

\quad某些计算问题在理论上可解，但是需要耗费大量时间和空间，这样的问题称为难解的，比如NPC问题。

一、层次定理

\quad直观感觉：给图灵机更多的时间或空间就能扩大它所能求解的问题类。例如图灵机在O(n3)O(n^3)O(n3)时间内能比其在O(n2)O(n^2)O(n2)时间内判定更多的语言。层次定理可以证明其正确性：时空界限较大的类比较小的类包含更多的语言。

空间层次定理

\quad对于任何空间可构造函数fff，存在语言A，在空间O(f(n))O(f(n))O(f(n))内可判定，但不能在o(f(n))o(f(n))o(f(n))内判定。
推论1：对于任意两个函数f1,f2f_1,f_2f1,f2，其中f1(n)=o(f2(n))f_1(n)=o(f_2(n))f1(n)=o(f2(n))，f2f_2f2是空间可构造的，则SPACE(f1(n))⊊SPACE(f2(n))SPACE(f_1(n))\subsetneq SPACE(f_2(n))SPACE(f1(n))⊊SPACE(f2(n))。
推论2：对于任意两个实数0≤ϵ1<ϵ20\le \epsilon_1 < \epsilon_20≤ϵ1<ϵ2，有SPACE(nϵ1)⊊SPACE(nϵ2)SPACE(n^{\epsilon_1})\subsetneq SPACE(n^{\epsilon_2})SPACE(nϵ1)⊊SPACE(nϵ2)。
推论3：NL⊊PSPACENL \subsetneq PSPACENL⊊PSPACE。
推论4：PSAPCE⊊EXPSPACEPSAPCE \subsetneq EXPSPACEPSAPCE⊊EXPSPACE

时间层次定理

\quad对于任何时间可构造函数ttt，存在语言A，在时间O(t(n))O(t(n))O(t(n))内可判定，但在时间o(t(n)/logt(n))o(t(n)/logt(n))o(t(n)/logt(n))内不可判定。
推论1：对于任意两个函数t1,t2t_1,t_2t1,t2，其中t1(n)=o(t2(n)/logt2(n))t_1(n)=o(t_2(n)/logt_2(n))t1(n)=o(t2(n)/logt2(n))，t2t_2t2是时间可构造的，则TIME(t1(n))⊊(t2(n))TIME(t_1(n))\subsetneq (t_2(n))TIME(t1(n))⊊(t2(n))。
推论2：对于任意两个实数0≤ϵ1<ϵ20\le \epsilon_1 < \epsilon_20≤ϵ1<ϵ2，有TIME(nϵ1)⊊TIME(nϵ2)TIME(n^{\epsilon_1})\subsetneq TIME(n^{\epsilon_2})TIME(nϵ1)⊊TIME(nϵ2)。
推论3：P⊊EXTIMEP \subsetneq EXTIMEP⊊EXTIME

NOTE:广义正则表达式(EQPEX↑EQ_{PEX\uparrow}EQPEX↑)不能在指数空间内判定，这类语言称为EXPSPACEEXPSPACEEXPSPACE完全的。

二、相对化

\quadEQPEX↑EQ_{PEX\uparrow}EQPEX↑的难解性证明依赖于对角化法。接下来的内容介绍相对化法，它给出证据排除了用对角化法解决P与NP问题的可能性。
\quad谕示图灵机(oracle TM)MAM^AMA：在图灵机上增加一个功能，能在一步之内判断一个字符串是否属于语言A。PAP^APA是采用多项式时间确定型oracle TM可判定的语言类，NPANP^ANPA是采用多项式时间非确定型oracle TM可判定的语言类。
\quadNP⊆PSAT，CoNP⊆PSATNP \subseteq P^{SAT}，CoNP\subseteq P^{SAT}NP⊆PSAT，CoNP⊆PSAT。因此可见PSATP^{SAT}PSAT包含不属于P的语言，NPSATNP^{SAT}NPSAT显然也包含不属于NP的语言。
\quad对角化方法的局限：该定理证明存在谕示A和B，使得可以证明：

1.存在谕示A使得PA≠NPAP^A\neq NP^APA=NPA
2.存在谕示B使得PB=NPBP^B = NP^BPB=NPB
如果能证明上述条件同时成立，则说明对角化方法不足以分开这两个类，不太可能用对角化方法解决P与NP问题。

\quad相对化方法表明：为了解决P与NP问题，必须分析计算，而不仅仅是模拟它们。

三、电路复杂性

\quad可以用数字电路的理论模型(布尔电路)来模拟图灵机这样的理论模型。建立图灵机与布尔电路之间的联系目的如下：

1.研究者相信电路提供了方便的计算模型，用以处理P与NP问题
2.电路证明了SAT属于NPC问题

\quad定义：一个布尔电路是由导线和连接的门和输入的集合，其中不允许出现循环。有三种门：与或非门。电路的规模是它所包含的门的数目，电路的深度是由输入变量到输出门的最长路径的长度。当两个电路有相同的输入变量，并且对于任何输入输出都相同时称这两个电路等价。对于等价的电路，其中规模最小的称为规模极小电路，深度最小的称为深度极小电路。
\quad定义：一个电路簇C是电路的一个无穷列表(C0,C1,⋯)(C_0,C_1,\cdots)(C0,C1,⋯)，其中CnC_nCn有n个输入变量。如果对于每个字符串w,(w∈A)w,(w\in A)w,(w∈A)都有Cn(w)=1C_n(w)=1Cn(w)=1，称C在{0,1}\{0,1\}{0,1}序列上判定A。
\quad语言的电路复杂度是指该语言的极小电路簇的规模复杂度，语言的电路深度复杂度是指该语言的极小电路簇的深度复杂度。
\quad定理：语言的电路复杂度与它的时间复杂度有关，任何时间复杂度小的语言其电路复杂度也小。若A∈TIME(t(n)),t(n)≥nA\in TIME(t(n)),t(n)\geq nA∈TIME(t(n)),t(n)≥n，则A的电路复杂度为O(t2(n))O(t^2(n))O(t2(n))。该定理提供了一条证明P≠NPP\neq NPP=NP的途径，以此来证明NP中某个语言的电路复杂度超过多项式。
\quad如果输入某一赋值使电路输出为1，称布尔电路是可满足的。电路可满足性问题就是判定一个电路是否可满足的。令CIRCUIT−SAT={<C>∣C是可满足的布尔电路}CIRCUIT-SAT=\{<C>|C是可满足的布尔电路\}CIRCUIT−SAT={<C>∣C是可满足的布尔电路}.
\quad定理：CIRCUIT−SAT和3SATCIRCUIT-SAT和3SATCIRCUIT−SAT和3SAT都是NPC的。