Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了)，第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示)，按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

模板：

const int INF=0x3f3f3f3f;const int maxn=1200;intdist[maxn],g[maxn][maxn],N;boolvis[maxn];voiddijkstra()

{for(int i=1;i<=N;i++)

dist[i]=(i==1)?0:INF;

memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1;i<=N;i++)

{int mark=-1,mindis=INF;for(int j=1;j<=N;j++)

{if(!vis[j]&&dist[j]

{

mindis=dist[j];

mark=j;

}

}

vis[mark]=1;for(int j=1;j<=N;j++)

{if(!vis[j])

{

dist[j]=min(dist[j],dist[mark]+g[mark][j]);

}

}

}

}

内存优化后的Dijkstra:

intdist[N], point[N], n, m;boolvis[N];

std::vector > g[N];//g[i][j] = 为边(i , fi)的距离se；

voiddijkstra()

{for(int i=1;i<=n;i++)

dist[i]=(i==1)?0:INF;

memset(vis,0,sizeof(vis));for(int i=1;i<=n;i++)

{int mark=-1,mindis=INF;for(int j=1;j<=n;j++)

{if(!vis[j]&&dist[j]

{

mindis=dist[j];

mark=j;

}

}

vis[mark]=1;for(int j=0;j

{if(!vis[g[mark][j].fi])

{

dist[g[mark][j].fi]=min(dist[g[mark][j].fi],dist[mark]+g[mark][j].se);

}

}

}

}

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堆优化后的Dijkstra：

//堆优化dijkstra

voiddijkstra()

{

memset(dist,63,sizeof(dist));

dist[S]=0;

priority_queue q; ///-距离,点

q.push(make_pair(0,S));while(!q.empty())

{

pII tp=q.top(); q.pop();

LL u=tp.second;if(vis[u]==true) continue;

vis[u]=true;for(LL i=Adj[u];~i;i=edge[i].next)

{

LL v=edge[i].to;

LL len=edge[i].len;if(vis[v]) continue;if(dist[v]>dist[u]+len)

{

dist[v]=dist[u]+len;

q.push(make_pair(-dist[v],v));

}

}

}

}

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