《算法笔记》4.3小节——算法初步-＞递归

分治
分治这种思想可以用递归或者非递归解决，分治的子问题个数为1称为减治，子问题个数大于1称为分治，n的阶乘的求解是减治，fibo数列的求解是分治。

递归
两个重要的概念：递归边界和递归式

⭐⭐⭐输出全排列

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 11;
//n表示输出1-n的全排列
int n, P[maxn], hashTable[maxn] = { 0 };
void generateP(int index) {if (index == n + 1) {for (int i = 1; i <= n; i++){printf("%d",P[i]);}printf("\n");return;}for (int x = 1; x <= n; x++){if (hashTable[x] == 0){P[index] = x;hashTable[x] = 1;generateP(index + 1);hashTable[x] = 0;}}
}
int main()
{n = 3;generateP(1);return 0;
}

n皇后问题
该问题如果使用组合数的方式表示每一种情况，就像从n²中选n，需要C（n n²）的枚举量
现在改进它，在全排列的代码基础上求解
⭐暴力
这里有一个全局变量count，该变量使用时会报错-”不明确的变量“
解决方法：把using namespace std注释掉就好了。
或者不使用count计数，使用num计数。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
//using namespace std;
const int maxn = 11;
int n, P[maxn], hashTable[maxn] = { 0 };
int count = 0;
void generateP(int index) {if (index == n + 1)//递归边界，生成了一个排列{int flag = 1;for (int i = 1; i <= n; i++)//遍历任意两个皇后{for (int j = i + 1; j <=n; j++){if (abs(i - j) == abs(P[i] - P[j]))//如果在一条对角线上{flag = 0;}}}if (flag)count = count + 1;;return;}for (int x = 1; x <= n; x++){if (hashTable[x] == 0){P[index] = x;hashTable[x] = 1;generateP(index + 1);hashTable[x] = 0;}}
}
int main()
{n = 8;generateP(1);printf("%d",count);return 0;
}

⭐⭐回溯

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
//using namespace std;
const int maxn = 11;
int n, P[maxn], hashTable[maxn] = { 0 };
int num = 0;
void generateP(int index) {if (index == n + 1)//递归边界，生成了一个排列{num++;return;}for (int x = 1; x <= n; x++){if (hashTable[x] == 0)//第x行还没有皇后{int flag = 1;//=1表示当前皇后还不会和之前的皇后冲突for (int pre = 1; pre < index; pre++){if (abs(index - pre) == abs(x - P[pre]))//拿第x行和之前的1-index行进行比较{flag = 0;break;}}if (flag)//第x行和之前没有冲突{P[index] = x;hashTable[x] = 1;generateP(index + 1);hashTable[x] = 0;}}}
}
int main()
{n = 8;generateP(1);printf("%d", num);return 0;
}

问题 A: 吃糖果
问题描述:名名的妈妈从外地出差回来，带了一盒好吃又精美的巧克力给名名（盒内共有 N 块巧克力，20 > N >0）。
妈妈告诉名名每天可以吃一块或者两块巧克力。
假设名名每天都吃巧克力，问名名共有多少种不同的吃完巧克力的方案。
例如：
如果N=1，则名名第1天就吃掉它，共有1种方案；
如果N=2，则名名可以第1天吃1块，第2天吃1块，也可以第1天吃2块，共有2种方案；
如果N=3，则名名第1天可以吃1块，剩2块，也可以第1天吃2块剩1块，所以名名共有2+1=3种方案；
如果N=4，则名名可以第1天吃1块，剩3块，也可以第1天吃2块，剩2块，共有3+2=5种方案。
现在给定N，请你写程序求出名名吃巧克力的方案数目。

输入

输入只有1行，即整数N。

输出

可能有多组测试数据，对于每组数据，
输出只有1行，即名名吃巧克力的方案数。

样例输入

1
2
4

样例输出

1
2
5

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
//using namespace std;
int num;
int count(int num)
{if (num == 0){return 1;}else if (num == 1){        return count(num - 1);}elsereturn count(num - 1) + count(num - 2);}
int main()
{while (scanf("%d", &num) != EOF){       printf("%d\n", count(num));}}

问题 B: 数列
问题描述：编写一个求斐波那契数列的递归函数，输入n 值，使用该递归函数，输出如下图形（参见样例）。

输入

输入第一行为样例数m，接下来有m行每行一个整数n，n不超过10。

输出

对应每个样例输出要求的图形(参见样例格式)。

样例输入

1
6

样例输出

         00 1 10 1 1 2 30 1 1 2 3 5 80 1 1 2 3 5 8 13 21
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

这题一开始想复杂了，以为还要再求fibo的递归里面输出数列的元素，后来发现递归只用在了求fibo的第n项元素上，就是每次输出都要求一次比较费时间，可以设置一个数组先把1-30的fibo元素求出来，到时候直接输出就可以了

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
//using namespace std;
//求出fibo数列第n项
int fibo(int n) {if ((n == 0) || (n == 1)){     return n;}      else{       return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);}
}
int main()
{int m;int i;int n;//输出的图形有n行，最后一行的fibo数列一共有2n-1个元素int j;int k;int temp;scanf("%d",&m);for (i = 1; i <= m; i++){scanf("%d",&n);//一共要输出几行temp = 0;for (k = 1; k <= n; k++)//输出从第1行到第n行{for (j = 0; j < n - k; j++)printf("  ");for (j = 0; j < 2 * k - 1; j++)printf("%d ",fibo(j));printf("\n");}}
}

⭐⭐⭐问题 C: 神奇的口袋
问题描述：有一个神奇的口袋，总的容积是40，用这个口袋可以变出一些物品，这些物品的总体积必须是40。John现在有n个想要得到的物品，每个物品的体积分别是a1，a2……an。John可以从这些物品中选择一些，如果选出的物体的总体积是40，那么利用这个神奇的口袋，John就可以得到这些物品。现在的问题是，John有多少种不同的选择物品的方式。

输入

输入的第一行是正整数n (1 <= n <= 20)，表示不同的物品的数目。接下来的n行，每行有一个1到40之间的正整数，分别给出a1，a2……an的值。

输出

输出不同的选择物品的方式的数目。

样例输入

样例输出

1
0

好经典的题目，但我没想出来www!

#include <cstdio>
int count,n,a[20];
void search(int index,int sum)
{if(sum==0){count++;return ;}if(index>=n)return ;if(sum-a[index]>=0)search(index+1,sum-a[index]);search(index+1,sum);
}
int main()
{while(~scanf("%d",&n)){count=0;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);search(0,40);printf("%d\n",count); }return 0;
}

⭐⭐问题 D: 八皇后
问题描述：会下国际象棋的人都很清楚：皇后可以在横、竖、斜线上不限步数地吃掉其他棋子。如何将8个皇后放在棋盘上（有8 * 8个方格），使它们谁也不能被吃掉！这就是著名的八皇后问题。
对于某个满足要求的8皇后的摆放方法，定义一个皇后串a与之对应，即a=b1b2…b8，其中bi为相应摆法中第i行皇后所处的列数。已经知道8皇后问题一共有92组解（即92个不同的皇后串）。
给出一个数b，要求输出第b个串。串的比较是这样的：皇后串x置于皇后串y之前，当且仅当将x视为整数时比y小。

输入

第1行是测试数据的组数n，后面跟着n行输入。每组测试数据占1行，包括一个正整数b(1 <= b <= 92)

输出

输出有n行，每行输出对应一个输入。输出应是一个正整数，是对应于b的皇后串。

样例输入

样例输出

25713864
17582463
36824175

经典的八皇后问题，在递归条件判断完成后再加判断，回溯和暴力都可以解决

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
//using namespace std;
const int maxn = 11;
int n, P[maxn], hashTable[maxn] = { 0 };
int num = 0;
void generateP(int index,int nuum) {if (index == n + 1)//递归边界，生成了一个排列{num++;if (num == nuum) { for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d",P[i]);}return;}for (int x = 1; x <= n; x++){if (hashTable[x] == 0)//第x行还没有皇后{int flag = 1;//=1表示当前皇后还不会和之前的皇后冲突for (int pre = 1; pre < index; pre++){if (abs(index - pre) == abs(x - P[pre]))//拿第x行和之前的1-index行进行比较{flag = 0;break;}}if (flag)//第x行和之前没有冲突{P[index] = x;hashTable[x] = 1;generateP(index + 1,nuum);hashTable[x] = 0;}}}
}
int main()
{n = 8;int nn;scanf("%d",&nn);int i;int nuum;for (i = 1; i <= nn; i++){scanf("%d",&nuum);num = 0;generateP(1,nuum);if(i!=nn)printf("\n");//printf("%d", num);}return 0;
}

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