FFT 快速傅里叶变换初探

一直认为很高深的东西其实也并不很难。

以下内容部分来自qy大神的ppt，同时结合了自己的理解。但理解还不是很深，需要继续研究。

开头

首先什么是傅里叶变换：傅立叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。【摘自百度】
注意三角函数的特点！这一点要用到。OI中常用的是离散傅里叶变换，并用FFT加速卷积计算。

多项式的表示

点值表示法

给出N+1个不同的x代入A(x)的点值，这样的N+1个元素构成的集合{(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)}，其中yi=A(xi)，称为点值表示法。
为什么由此给定的多项式是惟一的？证明留以后解决。

系数表示法

N次多项式A(x)通常的表示方法为给出A(x)的系数{ak}称为系数表示法。

两种表示法的优缺点

定义：多项式乘法（卷积）A(x)*B(x)=C(x) Cn=∑Ak*Bn-k
则系数表示法的n次多项式A(x),B(x)可以O(n)快速求得A(x)+B(x)，但是卷积通常需要O(n^2)计算
点值表示法的n次多项式卷积可以O(n)计算，只需将值域y对应相乘即可{(xi,yi)}×{(xi,zi)}={(xi,yi*zi)} (由于n项确定次数界为n的多项式，故计算卷积是至少保留2n项，注意这里)

系数与点值表示法的转化

系数表示法→点值表示法：

朴素计算O(n^3)
秦九韶算法/霍纳法则O(n^2)

点值表示法→系数表示法

高斯消元O(n^3)
拉格朗日插值法O(n^2)：A(x)=∑(0<=k<=n)yk*Π(j≠k)(x-xj)/(xk-xj)

为快速转化系数点值表示法，于是引入快速傅里叶变换。

FFT

首先

我们的问题是：计算一个系数表示法的多项式在某n个值下的值。

一些定义

在复数平面上，定义主n次单位根：w^n=1，w为n次单位根（此处w是一个复数，相当于复数平面上的一个向量），由向量运算的性质，可知w一定在单位圆上，且将单位圆n等分。
定义wk=w^k，则可以发现wa*wb=w((a+b)%n)，具有循环特征。

分治算法

由于有“优美”的循环性质，而且点值表示法对带入的点没有要求，于是可以分治，将这些n次单位根带入：

转化问题

令n=2^k，则问题变成求多项式A(w^(0..n-1))的值
若不等，可以添加一些系数为0的高次项，这都是细节。

分而治之

将A(x)奇偶项拆开，
令A0(x)=a0x^0+a2x^1+……+(an-2)x^(n/2-1)
A1(x)=a1x^0+a3x^1+……+(an-1)x^(n/2-1)
则有A(x)=A0(x^2)+xA1(x^2)

原始带入的是w^0,w^1,w^2,…
现在变成带入w^0,w^2,w^4,…
进行一下变换w’=w(n/2)，即w’^(n/2)=1
现在变成带入w’^0,w’^1,w’^2,…
这样问题就缩小了一半
继续分治即可
合并时是O(n),总时间复杂度是O(nlogn)

逆FFT

这要涉及范德蒙矩阵的相关知识，暂不说明。

图解（引用）

【据说像蝴蝶，然而？】

实现

由于分治方法常数较大，故在实际使用中通常使用迭代方法计算FFT。

具体方法

模拟从底层递归的过程，在原地操作变换数组。

结束语

FFT，本质也是分治算法的应用，充分利用数学知识，同时结合OI实际，才能灵活运用。
再次感谢qy大神。

参考资料

冰封寒月讲解与PPT
百度百科