c++中求解非线性方程组_齐次线性方程组的基础解系的简便算法

线性方程组的求解是线性代数中的基本技能，而齐次线性方程组的基础解系的求法又是基础。本文给出一个计算齐次线性方程组的基础解系的公式，从而简化计算过程。

01 符号说明

n元线性方程组的矩阵形式：(1)齐次线性方程组;(2)非齐次线性方程组;
系数矩阵：;
增广矩阵：;
高斯消元法将系数矩阵化为最简形式：

02 公式及用法

由行最简形，得到齐次方程组的解矩阵为

例1 求解齐次线性方程组的基础解系，其中
解：高斯消元法：

此处，,所以由上述解矩阵公式可得，

所以这个齐次方程组的基础解系为

03 例外及变通

有的时候，齐次方程组的系数矩阵并不是都能化为行最简形的上述分块矩阵表示的那样，这时需要变通一下，加入一个列变换(相当于交换两个未知数的系数所在的列)，将其变为上例的情形。但是注意，写解矩阵时要加入一个行变换(把这两个未知数对应行交换)。下面用具体例子说明。

例2 求解齐次线性方程组的基础解系，其中

解：高斯消元法：

写出解矩阵：

交换2、3行，修正得例2的解矩阵，

所以这个齐次方程组的基础解系为

04 非齐次线性方程组通解的计算

解非齐次方程组时，用增广矩阵(Ab),后面多了一列。高斯消元法步骤一样。最后得到行最简形的标准形式如下：

得到齐次方程组的解矩阵为

其中左边是齐次方程组的基础解系，右边一列是非齐次方程组的特解。

例3 求解齐次线性方程组的基础解系，其中

解：将增广矩阵化为行最简形：

所以，得解矩阵为，

所以这个非齐次方程组的通解为

如果此时齐次方程组的行最简形左上角没有出现单位矩阵块，处理方法同03 例外及变通。

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