【博弈】取石子游戏（P2599）

正题

P2599

题目大意

给n堆石子，第 i 堆有 aia_iai 个石子，每次可以从最左边或者最右边的一堆里面取若干个，两个人轮流取，问先手是否存在必胜策略

解题思路

设 li,jl_{i,j}li,j 为在 [i,j][i,j][i,j] 右边添加一堆大小 li,jl_{i,j}li,j 的石子，会使得先手必败，ri,jr_{i,j}ri,j同理

首先证明 li,jl_{i,j}li,j 只存在一个

如果存在两个 li,jl_{i,j}li,j，那么先手显然可以从大的直接操作为小的，那么先手必胜，不满足先手必败，所以最多有一个 li,jl_{i,j}li,j

接下来证明一定存在 li,jl_{i,j}li,j

如果不存在 li,jl_{i,j}li,j，那么左边无论加多少个数都是必胜状态
如果先手选左边那么必定到必胜状态，不满足先手必胜，所以先手肯定选右边
选了若干数后，一定满足无论左边加的是多少都必败，那么后手在左边选一个数则又回到了必败状态，不满足先手必胜

综上，必定存在 li,jl_{i,j}li,j

同理必定存在 ri,jr_{i,j}ri,j 且只存在一个

接下来考虑如何转移

对于 li,jl_{i,j}li,j 的求解，考虑从 [i,j−1][i,j-1][i,j−1] 转移，那么必定和 li,j−1,ri,j−1l_{i,j-1},r_{i,j-1}li,j−1,ri,j−1 有关，令 L=li,j−1,R=ri,j−1L=l_{i,j-1},R=r_{i,j-1}L=li,j−1,R=ri,j−1

R=ajR=a_jR=aj，那么先手就是必败的，所以 li,j=0l_{i,j}=0li,j=0
对于其他情况，其实就是把必败的决策点除外，令左右必胜决策点数相同即可
如果先手左边拿到 L，那么右边直接取空则先手必败（右边同理）
如果先手左边拿完，那么对于后手就是必胜得状态
否则先手左边拿多少必胜决策，右边拿同样多即可

最后判断 a1a_1a1 是否等于 l2,nl_{2,n}l2,n 即可

时间复杂度 O(n2T)O(n^2T)O(n2T)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 1010
using namespace std;
int T,n,a[N],l[N][N],r[N][N];
int main()
{scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&a[i]);l[i][i]=r[i][i]=a[i];}for(int len=2;len<n;++len)for(int i=1;i<=n-len+1;++i){int j=i+len-1,L,R;L=l[i][j-1];R=r[i][j-1];if(a[j]==R)l[i][j]=0;else if(L<=a[j]&&a[j]<R)l[i][j]=a[j]+1;else if(a[j]<L&&a[j]<R)l[i][j]=a[j];else if(L<a[j])l[i][j]=a[j];else l[i][j]=a[j]-1;L=l[i+1][j];R=r[i+1][j];if(a[i]==L)r[i][j]=0;else if(R<=a[i]&&a[i]<L)r[i][j]=a[i]+1;else if(a[i]<R&&a[i]<L)r[i][j]=a[i];else if(R<a[i])r[i][j]=a[i];else r[i][j]=a[i]-1;}if(l[2][n]!=a[1])puts("1");else puts("0");}return 0;
}