ZYS的黄金——解题报告

题目链接：http://www.ycoj.cf/problem/14
题目大意：n个大臣进贡的黄金都是[1，m]内的正整数。若后一个大臣的黄金数是后一个人的倍数，那么这个人就会受罚。因此他希望你能帮他求出有多少种进贡黄金的方案，不存在一个大臣进贡的黄金恰好是前一个大臣进贡黄金的倍数。两种方案不同当且仅当存在x使得第x个进贡的大臣在两种方案中进贡了的黄金数量不同。
题目分析：
一：如果用f[i][j]表示，第i个大臣进贡j的黄金的方案数。那么f[i][j]=∑f[i-1][k]（j%k!=0），其实可以转化为：f[i][j]=∑f[i-1][k]（m>=k>=1）-∑f[i-1][k]（j%k==0）。
二：由于所有的质数在n==1时，f的值为1，那么因为f[i][j]只与j的因数有关，那么我们将一个数分解质因数后可以发现，如果质因数的指数从大到小排序后，两个数的质因数指数分别相等，那么他们的f值是相同的，因为都是由同样数量质数转移而来的。所以我们只需要处理好质数的组合情况就行了。
三：分析时间复杂度后我们发现，只有当时间复杂度在O(nlogm)左右时才可以通过题目。我们通过打表可以发现，指数组合仅只有不到200种可能性。那么就可以通过矩阵二分快速幂来实现这个过程，降低时间复杂度，最后时间复杂度大致为O(200^3logn)，可以通过题目。
四：在处理指数组合的时候可以用哈希表来处理。
解题过程：
一：用哈希表处理处每个指数组合，并记录每个组合出现的次数。
二：根据1~m的数之间的整除关系来构造矩阵，矩阵i,j表示组合i–>组合j的转移方案数。
三：利用矩阵二分快速幂迅速得到答案。
最后附上AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>using namespace std;
typedef int ll;
ll N,m,P;
ll d[300010],pos[300010];
ll type[210],tot=0;
ll Pri[]={2,3,5,7,11,13,17,19},tp[300010];
void getMax()
{ll count1=1;for(ll i=2;i<=m;++i){if(!d[i])d[i]=tp[++count1]=i;ll u=min(m/i,d[i]);for(ll j=1;j<=count1 && tp[j]<=u;++j)d[i*tp[j]]=tp[j];}
}
bool cmp(ll a,ll b)
{return a>b;
}
ll mapping(ll x)
{ll C[20],T=0;while(x!=1){ll p=d[x];C[T]=0;while(d[x]==p)x/=p,++C[T];++T;}sort(C,C+T,cmp);ll ans=1,p,c;while(T--)for(p=Pri[T],c=C[T];c--;)ans*=p;if(pos[ans]==-1){pos[ans]=tot++;type[pos[ans]]=ans;}return pos[ans];
}
ll cnt[210];
struct matrix
{ll n;ll a[210][210];
};
matrix matrix_mul(matrix A, matrix B)
{matrix ret;ret.n = A.n;for(ll i=0;i<ret.n;i++)for(ll j=0;j<ret.n;j++)ret.a[i][j]=0;for(ll i=0;i<ret.n;i++)for(ll j=0;j<ret.n;j++)for(ll k=0;k<A.n;k++)ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+A.a[i][k]*(long long)B.a[k][j]%P)%P;return ret;
}
matrix unit(ll n)
{matrix ret;ret.n=n;for(ll i=0;i<n;i++){for(ll j=0;j<n;j++){if(i==j)ret.a[i][j]=1;elseret.a[i][j]=0;}}return ret;
}
void matrix_pow(matrix A,ll p,matrix &V)
{while(p){if(p&1)V=matrix_mul(V,A);A=matrix_mul(A,A);p>>=1;}
}
ll num[100010];
int main()
{memset(pos,-1,sizeof(pos));scanf("%d%d%d",&N,&m,&P);getMax();for(ll i=1;i<=m;i++){num[i]=mapping(i);cnt[num[i]]++;}matrix M,V;M.n=tot;for(ll i=0;i<tot;++i)for(ll j=0;j<tot;++j)M.a[i][j]=cnt[i];V.n=tot;for(ll i=0;i<tot;i++)V.a[0][i]=1;for(ll i=0;i<tot;i++){ll x=type[i];for(ll f=1;f*f<=x;++f){if(x%f==0){if(num[f]!=0)--M.a[num[f]][i];else{num[f]=mapping(f);--M.a[num[f]][i];}if(f*f!=x){if(num[x/f]!=0)--M.a[num[x/f]][i];else{num[x/f]=mapping(f);--M.a[num[x/f]][i];}}}}}N--;matrix_pow(M,N,V);ll A=0;for(ll i=0;i<tot;i++)A=(A+cnt[i]*(long long)V.a[0][i])%P;printf("%d\n",A);return 0;
}

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