AtCoder Regular Contest 107 F - Sum of Abs（网络流最小割）

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题意就是给定一个无向图，每个点有权值ai,bia_i,b_iai,bi，现在需要删去其中的一些点，其中删去一个点的花费为aia_iai，删点后的图的分数为每一个联通块的分数之和，一个联通块的分数是这个联通块的点的bib_ibi的和的绝对值。要求删点后的图的分数减去删点的花费的最大值(n,m<=300n,m<=300n,m<=300)
很妙的最小割题
对于一个联通块，取绝对值之后就是这个联通块内的所有点的和乘上+1或者-1
这样我们就可以考虑给每一个没有删去的点赋上一个额外的值为+1或-1，其中+1和-1不能相邻因为一个联通块内的所有点的权值都是+1或者-1，然后我们要求其中的最小值。
事实上，我们可以先求所有的bib_ibi的绝对值的和sumsumsum，这样对于点iii，删去它或者给这个点赋上+1或者-1的代价分别是：
如果bi>0b_i>0bi>0，则删点、赋为+1,-1的代价分别为：ai+bi,0,2bia_i+b_i,0,2b_iai+bi,0,2bi
如果bi<0b_i<0bi<0，则删点、赋为+1,-1的代价分别为：ai−bi,−2bi,0a_i-b_i,-2b_i,0ai−bi,−2bi,0
仔细想想都比较容易得到，这里举bi<0b_i<0bi<0,赋值为+1的情况为例，原本我们已经求得了所有bib_ibi的绝对值的和，相当于对此时的bib_ibi取了权值为−1-1−1，而实际上我们应该取+1，所以我们的代价就是原本最初加进去的∣bi∣|b_i|∣bi∣和要取+1时的−bi-b_i−bi，故为−2bi-2b_i−2bi
转化为这个问题之后其实可以用最小割来解决。我们可以这样连边：先拆点，然后每个点S到i连一条流量为这个点赋值+1的代价的边，i到i’连接一条流量为删去这个点的代价的边，i’到T连接一条流量为这个点赋值-1的代价的边。对于原本在图上的一条边(u,v)，我们在u’到v和v’到u分别连接一条流量为inf的边。这样求最小割即可。
大概原理：

对于u到v这条边中，要么删去其中一个点，要么不能同时选择+1或者-1，对应着在图上割就可以了
代码：

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=610,M=2410;
int n,m,S,T,ans,tot=1,a[N],b[N],cur[N],head[N],to[M],nxt[M],val[M],dep[N];
void add_edge(int u,int v,int w){nxt[++tot]=head[u];to[tot]=v;val[tot]=w;head[u]=tot;return;
}
void Add_edge(int u,int v,int w){add_edge(u,v,w);add_edge(v,u,0);return;
}
bool bfs(){queue<int>q;q.push(S);for(int i=1;i<=T;i++){dep[i]=-1;cur[i]=head[i];}dep[S]=1;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for(int i=head[u];~i;i=nxt[i]){int v=to[i];if(!val[i]||~dep[v])continue;dep[v]=dep[u]+1;q.push(v);}}return ~dep[T];
}
int dfs(int u,int now){if(u==T||!now)return now;int ret=0;for(int &i=cur[u];~i;i=nxt[i]){int v=to[i];if(dep[v]!=dep[u]+1||!val[i])continue;int dist=dfs(v,min(now,val[i]));if(dist){val[i]-=dist;now-=dist;val[i^1]+=dist;ret+=dist;}}return ret;
}
void Dinic(){while(bfs())ans-=dfs(S,0x7f7f7f7f);return;
}
int main(){memset(head,-1,sizeof(head));scanf("%d%d",&n,&m);S=(n<<1|1),T=S+1;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d",b+i);if(!b[i])Add_edge(i,i+n,a[i]);if(b[i]<0){ans-=b[i];Add_edge(S,i,-b[i]*2);Add_edge(i,i+n,a[i]-b[i]);}if(b[i]>0){ans+=b[i];Add_edge(i+n,T,b[i]*2);Add_edge(i,i+n,a[i]+b[i]);}}for(int i=1;i<=m;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);Add_edge(v+n,u,2e9);Add_edge(u+n,v,2e9);}Dinic();printf("%d\n",ans);return 0;
}

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