组合数的计算方法（Combinatorial Number）

组合数：从nnn个不同元素中取出m(m≤n)m(m≤n)m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从nnn个不同元素中取出mmm个元素的组合数。计算公式为：
C(n,m)=n!/((n−m)!×m!),where m≤nC(n,m)=n!/((n-m)!\times m!), \text{where}\ m\leq n C(n,m)=n!/((n−m)!×m!),where m≤n

性质1：C(n,m)=C(n,n−m)C(n,m)= C(n,n-m)C(n,m)=C(n,n−m)
性质2：C(n,m)=C(n−1,m−1)+C(n−1,m)C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)C(n,m)=C(n−1,m−1)+C(n−1,m)

第一种方法：打表

根据性质2直接构建一个n×nn\times nn×n的矩阵进行计算：

public class Template {static int mod = (int) 1e9 + 7;static int max = 110;static long[][] com = new long[max][max];public static void main(String[] args) {int n = 100, m = 30;for (int i = 0; i < max; i++) {com[i][0] = com[i][i] = 1;for (int j = 1; j < i; j++) {com[i][j] = (com[i - 1][j - 1] + com[i - 1][j]) % mod;}}System.out.println(com[n][m]);}
}

空间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)

预处理时间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)，查询时间复杂度：O(1)O(1)O(1)

第二种方法：阶乘无模

根据组合的组合数的计算公式C(n,m)=n!/((n−m)!×m!)C(n,m)=n!/((n-m)!\times m!)C(n,m)=n!/((n−m)!×m!)进行：

public class Template {static int mod = (int) 1e9 + 7;static int max = 110;static long[] fac = new long[max];public static void main(String[] args) {int n = 20, m = 10;fac[0] = 1;for (int i = 1; i < max; i++) {fac[i] = (fac[i - 1] * i);}System.out.println(fac[n] / fac[m] / fac[n - m]);}
}

空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

预处理时间复杂度：O(1)O(1)O(1)，查询时间复杂度：O(n)O(n)O(n)

由于涉及除法，无法直接取模，所以引入乘法逆元。

第三种方法：乘法逆元

逆元：对于aaa和ppp（aaa和ppp互素），若a∗b%p≡1a*b\%p\equiv1a∗b%p≡1，则称bbb的最小正整数解为aa%pa的逆元。

当求解(a/b)%p(a/b)\%p(a/b)%p，如果知道b%pb\%pb%p的逆元为ccc，那么可以转化为(a/b)%p=a∗c%p=(a%p)(c%p)%p(a/b)\%p=a*c\%p=(a\%p)(c\%p)\%p(a/b)%p=a∗c%p=(a%p)(c%p)%p。暴力做法：

public class Template {static int mod = (int) 1e9 + 7;static int max = 110;static long[] fac = new long[max];static long[] inv = new long[max];public static void main(String[] args) {int n = 100, m = 30;inv[0] = fac[0] = 1;for (int i = 1; i < max; i++) {fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod;inv[i] = inv(fac[i]);}System.out.println(((fac[n] * inv[m]) % mod * inv[n - m]) % mod);}public static long inv(long a) {for (int x = 1; x < mod; x++) {if (a * x % mod == 1) return x;}return 0;}
}

空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

预处理时间复杂度：O(p)O(p)O(p)，其中p=modp=modp=mod，查询时间复杂度：O(1)O(1)O(1)

第四种方法：乘法逆元+快速幂+阶乘

费马小定理：对于a和素数p，满足ap−1%p≡1a^{p-1}\%p\equiv 1ap−1%p≡1。

因为ap−1=ap−2∗aa^{p-1}=a^{p-2}*aap−1=ap−2∗a，所以有ap−2∗a%p≡1a^{p-2}*a\%p\equiv 1ap−2∗a%p≡1。根据逆元的定义可知，ap−2a^{p-2}ap−2是aaa的逆元。因此可以将求解逆元的问题转换为ap−2a^{p-2}ap−2的快速幂问题。

public class Template {static int mod = (int) 1e9 + 7;static int max = 110;static long[] fac = new long[max];static long[] inv = new long[max];public static void main(String[] args) {int n = 100, m = 30;inv[0] = fac[0] = 1;for (int i = 1; i < max; i++) {fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod;inv[i] = inv(fac[i]);}System.out.println(((fac[n] * inv[m]) % mod * inv[n - m]) % mod);}public static long pow(long a, long b) {long ans = 1;while (b > 0) {if ((b & 1) == 1) ans = (ans * a) % mod;a = a * a % mod;b = b >> 1;}return ans;}public static long inv(long a) {return pow(a, mod - 2);}
}

空间复杂度：O(n)O(n)O(n)

预处理时间复杂度：O(log⁡p)O(\log p)O(logp)，其中p=modp=modp=mod，查询时间复杂度为O(1)O(1)O(1)