第一章控制系统的状态空间表达式

1.1 状态变量及状态空间表达式

1.1.1 状态变量

1.1.2 状态矢量

1.1.3 状态空间

1.1.6 状态空间表达式

1.1.7 系统框图

1.2 模拟结构图

1.3 状态空间表达式的建立

1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式

1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式

1.3.3 从传递函数建立状态空间表达式

1.4 状态矢量的线性变换

1.4.1 系统状态空间表达式的非唯一性

1.4.2 系统特征值的不变性及系统的不变量

1.4.4 系统的并联型实现

1.5 从状态空间表达式求传递函数阵

1.5.1 传递函数阵

1.5.2 子系统在各种连接时的传递函数阵

1.6 离散时间系统的状态空间表达式

1.7 时变系统和非线性系统的状态空间表达式

第一章控制系统的状态空间表达式

1.1 状态变量及状态空间表达式

1.1.1 状态变量

为什么要引入状态变量?

在经典控制理论中用常微分方程或传递函数来描述一个线性定常系统（外部描述），这样的描述直接把输出和输入直接联系起来，忽略了中间变量，所以不能揭示系统的全部运动状态。
引入状态变量后，系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组描述，能反映全部独立的变量变化（内部描述）

什么是状态变量？

足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量
性质：状态变量个数=微分方程阶数=系统中独立储能元件的个数且状态变量非唯一

1.1.2 状态矢量

其中 x1 - xn 是系统的各个状态变量

1.1.3 状态空间

以n个状态变量为坐标轴构成的n维空间

1.1.4 状态方程

1.1.5输出方程

1.1.6 状态空间表达式

状态空间表达式的一般形式

其中：A —— n*n 系统矩阵 B—— n*r 控制/输入矩阵

C——m*n 输出矩阵 D—— m*r 直接传递矩阵

u是r维输入向量 y是m维输出向量

1.1.7 系统框图

1.1.6中的状态空间表达式可用下面的框图更直观表示

1.2 模拟结构图

模拟结构图的三种基本部件

一阶微分方程的模拟结构图三阶微分方程的模拟结构图

画模拟结构图的步骤

step1 积分器的数目等于状态变量的个数

step2 把积分器放置在合适的位置，把每个积分器的输出当作一个状态变量

step3 按照状态空间表达式画出加法器和积分器，并连接它们

1.3 状态空间表达式的建立

1.3.1 从系统框图出发建立状态空间表达式

step1 将系统的各个环节变成相应的模拟结构图

step2 把每个积分器的输出选作一个状态变量 xi ，其输入便是相应的xi '

step3 由模拟结构图写出状态空间表达式

1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式

此方法就是运用已知的数学物理定理公式来建立状态空间表达式

1.3.3 从传递函数建立状态空间表达式

如下是n阶线性常系数微分方程

相应的传递函数为

要解决这个问题实际上是根据上述两式求出下列状态空间表达式

解这个问题的关键在于从各个系数ai , bi 得到上述A,B,C,D四个矩阵

注意事项：

实现的存在条件：m<=n ；

m<n时，D=0 ； m=n , D=bm

传递函数中没有零点时的实现

传递函数

上述传递函数的实现，可以有多种结构，常用的简便形式是下述模拟结构图

故可以列出系统的状态方程如下

故解这类题目的较为简便的方法是将状态变量设置为 x ,x', x'',x'''...

传递函数有零点时的实现

以三阶系统为例

其状态空间表达式如下

对一些参数作一些调整，即

此时状态空间表达式可以用一种更简便的形式来表示

1.4 状态矢量的线性变换

1.4.1 系统状态空间表达式的非唯一性

设给定系统为

总可以找到一个非奇异矩阵T ，作X=Tz的变换后

可以得到新的状态空间表达式为

1.4.2 系统特征值的不变性及系统的不变量

系统特征值就是系统矩阵A的特征值，且经过非奇异变换后系统的特征值不会发生改变，证明如下

因为特征值没有发生改变，所以特征方程的各系数也都是唯一确定的。

特征矢量

1.4.3 状态空间表达式变换为约旦标准型

什么是约旦标准型

根据系统矩阵A，求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准型矩阵J

无重根时 有重根时（q个λ1重根）

这个问题实际上是将下图中上式转化为下式

而想要完成这个转化，必须求出变换矩阵T

求T的方法

1. 当A阵为任意形式时

（1）A阵的特征值无重根时

（2）A阵的特征值有重根时（注意广义特征向量的引入以及求法）

2.A阵为标准型，即

（1）A的特征值无重根时，其变换是一个范德蒙德矩阵

（2）A的特征值有重根时，以有λ1的三重根为例

（3）有共轭复根时，

此时所对应的约旦标准型为

1.4.4 系统的并联型实现

已知系统的传递函数：

实现并联型即把上式展开为部分分式

（1）具有互异根的情况

其中分母中的根为系统的特征根，将其展开成部分分式

其状态空间表达式为(以下两种表达方式等价：

（2）具有重根的情况

其状态空间表达式是

1.5 从状态空间表达式求传递函数阵

1.5.1 传递函数阵

1.单输入—单输出系统

已知系统的状态空间表达式如下：

对上式进行拉氏变换，得

U—X传递函数如下：

U—Y传递函数如下：

所谓传递函数阵，就是U--X和U--Y间的传递函数，应当指出，多输入——多输出系统的传递函数阵的形式与上述形式一模一样，在多输入输出系统中，U——Y间的传递函数是一个矩阵函数，即

其中每个元素表征的是第j个输入对第i个输出的传递关系

U—Y间传递函数还可以表示为

值得注意的是，虽然状态空间表达式可以做各种非奇异变换而不唯一，其传递函数阵一定不变

1.5.2 子系统在各种连接时的传递函数阵

1.并联连接（结构简图和连接后的传递函数阵）

2.串联连接

3.具有输出反馈的系统

1.6 离散时间系统的状态空间表达式

在离散系统中，从差分方程或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式，也是一种实现。

系统差分方程

系统传递函数

其任务是实现如下形式的状态空间表达式

离散系统模拟结构图的一般形式

对于该具体传递函数建立其模拟结构图

状态空间表达式

式子中的hi的求法与前面所说的βi的求法类似，即

1.7 时变系统和非线性系统的状态空间表达式

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