第一章行列式(知识点部分)

1.n阶行列式1.n阶行列式1.n阶行列式

代数和∑(−1)ta1p1a2p2...anpn\sum (-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}∑(−1)ta1p1a2p2...anpn称为nnn阶行列式(t为排列p1p2...pn的逆序数)(t为排列p_1p_2...p_n的逆序数)(t为排列p1p2...pn的逆序数)，记作∣a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮an1a12…ann∣\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots& a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}& \dots&a_{2n} \\ \vdots& \vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{12}&\dots&a_{nn} \end {vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮a12………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣
简记作det(aij)det(a_{ij})det(aij),其中aija_{ij}aij为行列式DDD的(i,j)(i,j)(i,j)元.

2.主上(下)三角行列式2.主上(下)三角行列式2.主上(下)三角行列式

D=∣a11a21a220⋮⋮⋱an1an2…ann∣=a11a22…ann;(对角线元素乘积)D=\begin{vmatrix} a_{11} \\ a_{21}&a_{22}& &0\\ \vdots&\vdots&\ddots \\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \\ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}{\dots}a_{nn};(对角线元素乘积)D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a22⋮an2⋱…0ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=a11a22…ann;(对角线元素乘积)

3.主对角行列式3.主对角行列式3.主对角行列式

D=∣λ1λ2⋱λn∣=λ1λ2…λn.(对角线元素乘积)D=\begin{vmatrix} \lambda_{1} \\ & &\lambda_{2} \\ & & &\ddots \\ & & & &\lambda_{n} \end{vmatrix}=\lambda_{1}\lambda_{2}{\dots}\lambda_{n}.(对角线元素乘积)D=∣∣∣∣∣∣∣∣λ1λ2⋱λn∣∣∣∣∣∣∣∣=λ1λ2…λn.(对角线元素乘积)

4.行列式的性质4.行列式的性质4.行列式的性质

(1)行列式与它的转置行列式相等.(1)行列式与它的转置行列式相等.(1)行列式与它的转置行列式相等.
D=∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann∣=DT=∣a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋮⋮⋮a1na2n⋯ann∣D=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=D^{T}=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n 1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣=DT=∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11a12⋮a1na21a22⋮a2n⋯⋯⋯an1an2⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(2)对换行列式的两行(列)，行列式变号.(2)对换行列式的两行(列)，行列式变号.(2)对换行列式的两行(列)，行列式变号.

(3)行列式中的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.(3)行列式中的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.(3)行列式中的某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.
∣a11a12…a1n⋮⋮⋮kai1kai2…kain⋮⋮⋮an1an2…ann∣=ri÷kk∣a11a12…a1n⋮⋮⋮ai1ai2…ain⋮⋮⋮an1an2…ann∣\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&\dots&ka_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\xlongequal{r_{i}÷k}k\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮kai1⋮an1a12⋮kai2⋮an2………a1n⋮kain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ri÷kk∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2………a1n⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(4)行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.(4)行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.(4)行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零.

(5)若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和:(5)若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和:(5)若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之和:
D=∣a11a12…a1n⋮⋮⋮ai1+a′i1ai2+a′i2…ain+a′in⋮⋮⋮an1an2…ann∣D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}+a{\prime}_{i1}&a_{i2}+a{\prime}_{i2}&\dots&a_{in}+a{\prime}_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1+a′i1⋮an1a12⋮ai2+a′i2⋮an2………a1n⋮ain+a′in⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
则D等于下列两个行列式之和:则D等于下列两个行列式之和:则D等于下列两个行列式之和:
D=∣a11a12…a1n⋮⋮⋮ai1ai2…ain⋮⋮⋮an1an2…ann∣+∣a11a12…a1n⋮⋮⋮a′i1a′i2…a′in⋮⋮⋮an1an2…ann∣D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a{\prime}_{i1}&a{\prime}_{i2}&\dots&a{\prime}_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2………a1n⋮ain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮a′i1⋮an1a12⋮a′i2⋮an2………a1n⋮a′in⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(6)把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变.(6)把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变.(6)把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变.
∣a11a12…a1n⋮⋮⋮ai1ai2…ain⋮⋮⋮aj1aj2…ajn⋮⋮⋮an1an2…ann∣=rj+kri∣a11a12…a1n⋮⋮⋮ai1ai2…ain⋮⋮⋮aj1+kai1aj2+kai2…ajn+kain⋮⋮⋮an1an2…ann∣(i≠j)\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{j1}&a_{j2}&\dots&a_{jn}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}\xlongequal{r_{j}+kr_i}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\dots&a_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{j1}+ka_{i1}&a_{j2}+ka_{i2}&\dots&a_{jn}+ka_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\\ \end{vmatrix} (i\not = j)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮aj1⋮an1a12⋮ai2⋮aj2⋮an2…………a1n⋮ain⋮ajn⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣rj+kri∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ai1⋮aj1+kai1⋮an1a12⋮ai2⋮aj2+kai2⋮an2…………a1n⋮ain⋮ajn+kain⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(i=j)

5.副上(下)三角行列式5.副上(下)三角行列式5.副上(下)三角行列式

6.副对角行列式6.副对角行列式6.副对角行列式

7.D=D1D27.D=D_1D_27.D=D1D2

D=∣a11⋯a1k⋮⋮0ak1⋯akkc11⋯c1kb11⋯b1n⋮⋮⋮⋮cn1⋯cnkbn1⋯bnn∣D=\left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 k} & & \\ \vdots & &\vdots & & 0 & \\ a_{k 1} & \cdots & a_{k k} & & & \\ c_{11} & \cdots & c_{1 k} & b_{11} & \cdots & b_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n 1} & \cdots & c_{n k} & b_{n 1} & \cdots & b_{n n} \end{array}\right|D=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ak1c11⋮cn1⋯⋯⋯⋯a1k⋮akkc1k⋮cnkb11⋮bn10⋯⋯b1n⋮bnn∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
D1=∣a11…a1k⋮⋮ak1…akk∣,D2=∣b11…b1n⋮⋮bn1…bnn∣D_1=\begin{vmatrix} a_{11}&\dots&a_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{k1}&\dots&a_{kk}\\ \end{vmatrix},D_2=\begin{vmatrix} b_{11}&\dots&b_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ b_{n1}&\dots&b_{nn}\\ \end{vmatrix}D1=∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ak1……a1k⋮akk∣∣∣∣∣∣∣,D2=∣∣∣∣∣∣∣b11⋮bn1……b1n⋮bnn∣∣∣∣∣∣∣

8.X型行列式8.X型行列式8.X型行列式

9.范德蒙德行列式9.范德蒙德行列式9.范德蒙德行列式

Dn=∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1∣=∏n≥1≥j≥1(xi−xj)D_{n}=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right|=\prod_{n \geq 1 \geq j \geq 1}\left(x_{i-} x_{j}\right)Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=n≥1≥j≥1∏(xi−xj)

10.行列式按行(列)展开法则及零值定理10.行列式按行(列)展开法则及零值定理10.行列式按行(列)展开法则及零值定理

∑k=1naikAjk={D,当i=j,0,当i≠j,\sum_{k=1}^{n} a_{i k} A_{j k}=\left\{\begin{array}{c} D, 当i=j,\\ 0, 当i\not = j,\\ \end{array}\right.k=1∑naikAjk={D,当i=j,0,当i=j,