哈工大《微积分》——一元积分学与微分方程
2024-04-10 14:45:51
第一讲：原函数与不定积分
- 原函数：F′(x)=f(x),F(x)为f(x)的一个原函数.F^{'}(x)=f(x),F(x)为f(x)的一个原函数.F′(x)=f(x),F(x)为f(x)的一个原函数.
- 不定积分：F(x)+C.F(x)+C.F(x)+C.
- 不定积分的性质：
3.1: (∫​f(x)dx)′=f(x).(\int \!f(x)dx)^{'}=f(x).(∫f(x)dx)′=f(x).
3.2: ∫​f′(x)dx=f(x)+C.\int \! f^{'}(x)dx=f(x)+C.∫f′(x)dx=f(x)+C. - 原函数的存在性：连续函数必有原函数；第一类间断点处无原函数【证明】。
- 不定积分的基本公式：∫​1xdx=ln∣x∣+C.\int \!{1\over x}dx=ln\left| x\right|+C.∫x1dx=ln∣x∣+C.
第二讲：第一换元积分法【复合函数求导法】
- 第一换元积分法（凑微分）：∫​f(g(x))g′(x)dx=∫​f(g(x))dg(x).\int \!f(g(x))g^{'}(x)dx=\int \!f(g(x))dg(x).∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(g(x))dg(x).
- 第一换元积分公式补充：
2.1 ∫​f(ax+b)dx=1b∫​f(ax+b)d(ax+b).\int \!f(ax+b)dx={1\over b}\int \!f(ax+b)d(ax+b).∫f(ax+b)dx=b1∫f(ax+b)d(ax+b).
2.2 ∫​1cosxdx=12ln∣1+sinx1−sinx∣+C=ln∣1cosx+tanx∣+C.\int \!{1\over cosx}dx={1\over 2}ln\left|{1+sinx} \over {1-sinx} \right|+C=ln\left|{1\over cosx}+tanx\right|+C.∫cosx1dx=21ln∣∣1−sinx1+sinx∣∣+C=ln∣∣cosx1+tanx∣∣+C. - 三角函数积分：
3.1 【m,n一奇一偶则易凑微分;全为偶数则用倍角公式降到一次】
∫​sinmxcosnxdx.\int \!sin^{m}xcos^{n}xdx.∫sinmxcosnxdx.
3.2 【利用1=sin2x+cos2x1=sin^2x+cos^2x1=sin2x+cos2x转化分子来降次,前者凑微分,后者分部积分】
∫​1sinmxcosnxdx⇒(∫​sinxcoskxdx,∫​cosxsinkxdx),(∫​1sinkxdx,∫​1coskxdx.)\begin{aligned} &\int \!{1\over{sin^{m}xcos^{n}x}}dx \\ &\Rightarrow \Biggl( \int \!{sinx \over {cos^{k}x}}dx, \int \!{cosx\over {sin^{k}x}}dx\Biggr), \Biggl( \int \!{1\over {sin^{k}x}}dx, \int \!{1\over {cos^{k}x}}dx.\Biggr) \end{aligned}∫sinmxcosnx1dx⇒(∫coskxsinxdx,∫sinkxcosxdx),(∫sinkx1dx,∫coskx1dx.)
3.3 【利用tan2x=sec2x−1和cot2x=csc2−1来降次tan^2x=sec^2x-1和cot^2x=csc^2-1来降次tan2x=sec2x−1和cot2x=csc2−1来降次】
【结合d(tanx)=sec2x和d(cot)=−csc2xd(tanx)=sec^2x和d(cot)=-csc^2xd(tanx)=sec2x和d(cot)=−csc2x】
∫​tannxdx=∫​tann−2x(sec2x−1)dx=∫​tann−2xd(tanx)−∫​tann−2xdx.∫​cotnxdx=∫​cotn−2(csc2−1)dx=−∫​cotn−2(1−csc2)dx=−(∫​cotn−2xdx+∫​cotn−2xd(cotx)).\begin{aligned} \int\!tan^{n}xdx &=\int\!tan^{n-2}x(sec^2x-1)dx\\ &=\int\!tan^{n-2}xd(tanx)-\int\!tan^{n-2}xdx.\\ \int\!cot^{n}xdx &=\int\!cot^{n-2}(csc^2-1)dx\\ &=-\int\!cot^{n-2}(1-csc^2)dx\\ &=-\Biggl( \int\!cot^{n-2}xdx+\int\!cot^{n-2}xd(cotx)\Biggr). \end{aligned}∫tannxdx∫cotnxdx=∫tann−2x(sec2x−1)dx=∫tann−2xd(tanx)−∫tann−2xdx.=∫cotn−2(csc2−1)dx=−∫cotn−2(1−csc2)dx=−(∫cotn−2xdx+∫cotn−2xd(cotx)).
3.4【利用1=sin2x+cos21=sin^2x+cos^21=sin2x+cos2转换分母常数项→\rightarrow→齐次】
∫​1a+bsin2xdx=∫​1(a+b)sin2x+acos2xdx=∫​1(a+b)+atan2x⋅sec2xdx=∫​1(a+b)+atan2xd(tanx).∫​1a+bcos2xdx.\begin{aligned} \int\!{1\over{a+bsin^2x}}dx &=\int\!{1\over{(a+b)sin^2x+acos^2x}}dx\\ &=\int\!{1\over{(a+b)+atan^2x}}\cdot sec^2xdx\\ &=\int\!{1\over{(a+b)+atan^2x}}d(tanx).\\ \int\!{1\over{a+bcos^2x}}dx. \end{aligned}∫a+bsin2x1dx∫a+bcos2x1dx.=∫(a+b)sin2x+acos2x1dx=∫(a+b)+atan2x1⋅sec2xdx=∫(a+b)+atan2x1d(tanx). - 其他函数的凑微分：
4.1 【遇到分母含exe^xex,分子加一项减一项】
∫​11+exdx=∫​1+ex−ex1+exdx.\int\!{1\over {1+e^x}}dx=\int\!{ {1+e^x-e^x}\over {1+e^x} }dx.∫1+ex1dx=∫1+ex1+ex−exdx.
4.2【局部求导法凑微分】
∫​xx2+2x+2dx.\int\!{x\over {x^2+2x+2}}dx.∫x2+2x+2xdx.
第三讲：分部积分法【乘积函数求导法】
- 分部积分法：∫​fdg=f⋅g−∫​g d​f.\int\!fdg=f\cdot g-\int\!g\,d\!f.∫fdg=f⋅g−∫gdf.
- 典型的分部积分：
2.1 ∫​lnxdx,∫​arctanx dx.\int\!lnxdx,\int\!arctanx\,dx.∫lnxdx,∫arctanxdx.
2.2 ∫​x⋅arctanx dx.\int\!x\cdot arctanx\,dx.∫x⋅arctanxdx.
2.3 ∫​xcosx dx,∫​xexdx.\int\!xcosx\,dx,\int\!xe^xdx.∫xcosxdx,∫xexdx.
2.4 ∫​exsinx dx.\int\!e^xsinx\,dx.∫exsinxdx.【解方程】
2.5 ∫​1sinnxdx,∫​1cosnxdx,∫​1(a2+x2)ndx.\int\!{1\over {sin^nx}}dx,\int\!{1\over{cos^nx}}dx,\int\!{1\over{(a^2+x^2)^n}}dx.∫sinnx1dx,∫cosnx1dx,∫(a2+x2)n1dx. - 其他类型的分部积分：
3.1 不同类函数乘积型：∫​x arcsinx1−x2dx.\int\!{x\,arcsinx\over{\sqrt{1-x^2}}}dx.∫1−x2xarcsinxdx.【典型凑微分】
3.2 导数重复出现型：∫​cosx lnxdx.\int\!cosx\,lnxdx.∫cosxlnxdx.【解方程法】
3.3 含“不可积”函数型：sinxx,ex2,sinx2,1lnx,1+x3,exx.{sinx\over x},e^{x^2},sinx^2,{1\over {lnx}},\sqrt{1+x^3},{e^x\over x}.xsinx,ex2,sinx2,lnx1,1+x3,xex.【抵消法】
3.4 含有抽象函数型：∫​[f′′(x)g(x)−f(x)g′′(x)]dx\int\![f^{''}(x)g(x)-f(x)g^{''}(x)]dx∫[f′′(x)g(x)−f(x)g′′(x)]dx【分部后可抵消】
第四讲：其他类型积分法
- 第二换元积分法：
1.1 ∫​f(ax+bcx+dn)dx.\int\!f(\sqrt[n]{{ax+b}\over{cx+d}})dx.∫f(ncx+dax+b)dx.【整体换元为ttt】
【例题】：∫​1x+x3dx\int\!{1\over {\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}}dx∫x+3x1dx
1.2 ∫​f(Ax2+Bx+C)dx.\int\!f(\sqrt{Ax^2+Bx+C})dx.∫f(Ax2+Bx+C)dx.【配方后三角代换】
【例题】：∫​1−x2xdx\int\!{{\sqrt{1-x^2}}\over{x}}dx∫x1−x2dx - 有理函数积分：【假分式=多项式+真分式】【真分式=∑\sum∑最简分式】
- 三角函数万能代换：sinx=2tanx21+tan2x2,cosx=,tanx=.sinx={2tan{x\over2}\over{1+tan^2{x\over 2}}},cosx=,tanx=.sinx=1+tan22x2tan2x,cosx=,tanx=.
- 分段函数积分：【要求原函数在分段点处连续】
第五讲：定积分
- 定积分：任意无限划分，任意区间取点，黎曼和取极限。
- 定积分的几何意义：代数和。
- 定积分可积准则：黎曼可积必有界（必要条件）；连续必黎曼可积；有限个一类间断必黎曼可积。
- 定积分的性质。
第六讲：微积分基本定理
- 变限积分函数：ϕ(x)=∫​axf(t)dt.\phi (x)=\int\!^x_af(t)dt.ϕ(x)=∫axf(t)dt.
- 微积分定理第一部分——微分部分：【微分与定积分的关系】
ϕ′(x)=(∫axf(t)dt)′=f(x).\phi ^{'}(x)=\Big(\int^x_af(t)dt\Big)^{'}=f(x).ϕ′(x)=(∫axf(t)dt)′=f(x). - 微积分定理第二部分——积分部分：【定积分与不定积分的关系】
∫axf(t)dt=F(x)−F(a).\int^x_af(t)dt=F(x)-F(a).∫axf(t)dt=F(x)−F(a). - 【证明】：[a,b][a,b][a,b]上f(x)f(x)f(x)可积，则∫axf(t)dt\int^x_af(t)dt∫axf(t)dt连续，但不一定可积.
第七讲：定积分的计算【可利用几何意义、对称性等】
- 第一还原积分法：换元必换限。
【例题】：求∫01x31+x2dx.\int^1_0x^3\sqrt{1+x^2}dx.∫01x31+x2dx. - 分部积分法。
【例题】：求limn→∞∫01ex2cosnx dx\lim_{n\to \infty}\int_0^1e^{x^2}cosnx\,dxn→∞lim∫01ex2cosnxdx - 分段函数的积分。
- 第二换元积分法：【换元必换限】
∫abf(x)dx=x=g(t)∫g−1(a)g−1(b)f[g(t)]g′(t)dt.\int_a^bf(x)dx \xlongequal{x=g(t)} \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f[g(t)]g^{'}(t)dt.∫abf(x)dxx=g(t)∫g−1(a)g−1(b)f[g(t)]g′(t)dt.
【例题1】：强调定积分的第二换元积分！【“倒区间换元”后可抵消】
求∫−π4π4cosx1+exdx.求\int^{\pi \over 4}_{-\pi \over 4}{cosx \over {1+e^x}}dx.求∫4−π4π1+excosxdx.
【例题2】：求证∫0π2sinxdx=∫0π2cosxdx求证\int^{\pi \over 2}_{0}sinxdx=\int^{\pi \over 2}_{0}cosxdx求证∫02πsinxdx=∫02πcosxdx
【例题3】：求证∫0πxf(sinx)dx=π2∫0πf(sinx)dx=π∫0π2f(sinx)dx.求证\int^{\pi}_{0}xf(sinx)dx={\pi \over 2}\int^{\pi}_{0}f(sinx)dx=\pi \int^{\pi \over 2}_0f(sinx)dx.求证∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx=π∫02πf(sinx)dx. - 定积分定义求极限：∫01f(x)dx=limn→∞∑i=1nf(in)1n.\int^1_0f(x)dx=\lim_{n\to \infty} \sum^n_{i=1}f({i\over n}){1\over n}.∫01f(x)dx=n→∞limi=1∑nf(ni)n1.
第八讲：广义积分
- 无穷区间上的定积分。
【例题】：求∫0+∞1(1+x2)(1+xβ)dx,0<β<1.求\int^{+\infty}_0{1\over {(1+x^2)(1+x^{\beta})}}dx,0<\beta <1.求∫0+∞(1+x2)(1+xβ)1dx,0<β<1. - 瑕积分：有限点处函数无界。
【例题】：求∫0π11+3sin2xdx.求\int^{\pi}_{0}{1\over {1+3sin^2x}}dx.求∫0π1+3sin2x1dx.
第九讲：极值与最值
- 函数的单调性：
【定理1】：f(x)单调上升且f′(x)存在，则f′(x)⩾0.f(x)单调上升且f^{'}(x)存在，则f^{'}(x)\geqslant 0.f(x)单调上升且f′(x)存在，则f′(x)⩾0.
【定理2】：f(x)在(a,b)内可导，且f′(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调递增.f(x)在(a,b)内可导，且f^{'}(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调递增.f(x)在(a,b)内可导，且f′(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调递增. - 函数的极值：驻点、极值嫌疑点。
【定理】：极值的两个判断定理。 - 函数的最值：
【题型1】：闭区间上连续函数的最值：逐个比较嫌疑点函数值得到最值。
【题型2】：开区间连续函数的最值：若有且仅有一个极值，则必为最值。
【题型3】：实际问题中的最值。
第十讲：函数的作图
- 凹凸性：f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]⇔凹.f({{x_1+x_2}\over 2})<{1\over 2}[f(x_1)+f(x_2)]\Leftrightarrow 凹.f(2x1+x2)<21[f(x1)+f(x2)]⇔凹.
【定理】：f′′(x)>0⟺凹.f^{''}(x)>0 \Longleftrightarrow 凹.f′′(x)>0⟺凹. - 拐点：凹凸性变化点。
- 渐趋线：y=ax+b:a=limx→±∞f(x)x,b=limx→±∞[f(x)−ax].y=ax+b:a=\lim_{x\to \pm \infty}{f(x)\over x},b=\lim_{x\to \pm \infty }[f(x)-ax].y=ax+b:a=x→±∞limxf(x),b=x→±∞lim[f(x)−ax].
- 曲线的作图：特殊点，区间。
第十一讲：函数的弧微分
- 弧微分公式：要求limM→M′M0Mundefined∣M0M∣=1.要求\lim_{M\to M^{'}}{\overgroup{M_0M} \over{ \left|{M_0M}\right| }}=1.要求M→M′lim∣M0M∣M0M=1.
ds=1+f′2(x)dx=x′2(t)+y′2(t)dt=r2(θ)+r′2(θ)dθ.\begin{aligned} ds&=\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx\\ &=\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}dt\\ &=\sqrt{r^{2}(\theta)+r^{'2}(\theta)}d\theta. \end{aligned}ds=1+f′2(x)dx=x′2(t)+y′2(t)dt=r2(θ)+r′2(θ)dθ. - 微分三角关系：ds=(dx)2+(dy)2.ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}.ds=(dx)2+(dy)2.
- 曲率圆：K=1RK={1\over R}K=R1，曲率中心的运动轨迹即渐屈线。
第十二讲：定积分的应用
- 微元法：所求量满足可加性；存在实数区间[a,b]与所求量对应；∀x∈[a,b],点区间[x,x+dx]对应的分量dS=f(x)dx.所求量满足可加性；存在实数区间[a,b]与所求量对应；\forall x\in [a,b],点区间[x,x+dx]对应的分量dS=f(x)dx.所求量满足可加性；存在实数区间[a,b]与所求量对应；∀x∈[a,b],点区间[x,x+dx]对应的分量dS=f(x)dx.
- 求平面图形面积：直角坐标系、极坐标系。
- 求旋转体体积。
- 求横截面积已知的空间体的体积。
- 计算弧长。
- 定积分的物理应用。
第十三讲：常微分方程
- 常微分方程：未知函数为一元函数。
- 微分方程的阶：方程中未知函数的最高阶数。
- 微分方程的解：一个解、通解、特解、奇解。
- 定解条件：n阶微分方程需要n个定解条件来确定解。
第十四讲：一阶微分方程
- 可分离变量型：g(y)dy=f(x)dx.g(y)dy=f(x)dx.g(y)dy=f(x)dx.
- 齐次型：dydx=f(yx)或dxdy=f(xy).{ {dy}\over {dx} }=f({y\over x})或{ {dx}\over {dy} }=f({x\over y}).dxdy=f(xy)或dydx=f(yx).
- 一阶线性型：dydx+P(x)y=Q(x).{dy\over {dx}}+P(x)y=Q(x).dxdy+P(x)y=Q(x).
- 伯努利方程：dydx+P(x)y=Q(x)yn,(n≠0,1).{dy\over{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{n},(n\ne0,1).dxdy+P(x)y=Q(x)yn,(n̸=0,1).
第十五讲：可降阶的高阶微分方程：
5.1 y(n)=f(x)型;y^{(n)}=f(x)型;y(n)=f(x)型;
5.2 F(x,y(n),y(n+1))型;F(x,y^{(n)},y^{(n+1)})型;F(x,y(n),y(n+1))型;
5.3 F(y,y′,y′′)型;F(y,y^{'},y^{''})型;F(y,y′,y′′)型;
第十六讲：线性微分方程通解结构
- 线性微分方程：y(n)+an−1(x)y(n−1)+⋯+a0(x)y=f(x).y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_0(x)y=f(x).y(n)+an−1(x)y(n−1)+⋯+a0(x)y=f(x).
- n阶线性微分方程通解结构：n个线性无关特解的线性和+非齐次特解。
第十七讲：常系数线性微分方程
- n阶常系数线性微分方程：y(n)+an−1y(n−1)+⋯+a0y=f(x).y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=f(x).y(n)+an−1y(n−1)+⋯+a0y=f(x).
- 常系数齐次：假设特解为eλxe^{\lambda x}eλx，求特征方程得到线性无关的特解。
- 特征根的分类：
3.1 k重实根：对应k个不带三角的幂指根——xieλixx^ie^{\lambda _ix}xieλix
3.2 k重复根：对应2k个带三角的幂指根——xieαicosβx,xieαisinβx.x^ie^{\alpha _i}cos\beta x,x^ie^{\alpha _i}sin\beta x.xieαicosβx,xieαisinβx.
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