线性变换及其基本性质

定义 1　设有两个非空集合 A A A 和 B B B，如果对于 A A A 中任一元素 α \alpha α，按照一定的规则，总有 B B B 中一个确定的元素 β \beta β 和它对应，那么，这个对应规则称为从集合 A A A 到集合 B B B 的映射。我们常用字母表示一个映射，譬如把上述映射记作 T T T，并记
β = T ( α ) 或 β = T α ( α ∈ A ) \beta = T(\alpha) \hspace{1em} 或 \hspace{1em} \beta = T \alpha \ (\alpha \in A) β=T(α)或β=Tα (α∈A)
设 α 1 ∈ A \alpha_1 \in A α1∈A， T ( α 1 ) = β 1 T(\alpha_1) = \beta_1 T(α1)=β1，就说映射 T T T 把元素 α 1 \alpha_1 α1 变成 β 1 \beta_1 β1， β 1 \beta_1 β1 称为 α 1 \alpha_1 α1 在映射 T T T 下的像， α 1 \alpha_1 α1 称为 β 1 \beta_1 β1 在映射 T T T 下的原像。 A A A 称为映射 T T T 的定义域，像的全体所构成的集合称为像集，记作 T ( A ) T(A) T(A)，即
T ( A ) = { β = T ( α ) ∣ α ∈ A } T(A) = \{ \beta=T(\alpha) | \alpha \in A \} T(A)={β=T(α)∣α∈A}
显然 T ( A ) ⊂ B T(A) \subset B T(A)⊂B。

定义 2　设 V n V_n Vn， U m U_m Um 分别是 n n n 维和 m m m 维线性空间， T T T 是一个从 V n V_n Vn 到 U m U_m Um 的映射，如果映射 T T T 满足：

（i）任给 α 1 , α 2 ∈ V n \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_n α1,α2∈Vn（从而 α 1 + α 2 ∈ V \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \in V α1+α2∈V），有
T ( α 1 + α 2 ) = T ( α 1 ) + T ( α 2 ) T(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) = T(\boldsymbol{\alpha}_1) + T(\boldsymbol{\alpha}_2) T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)
（ii）任给 α ∈ V n \boldsymbol{\alpha} \in V_n α∈Vn， λ ∈ R \lambda \in \R λ∈R（从而 λ α ∈ V n \lambda \boldsymbol{\alpha} \in V_n λα∈Vn），有
T ( λ α ) = λ T ( α ) T(\lambda \boldsymbol{\alpha}) = \lambda T(\boldsymbol{\alpha}) T(λα)=λT(α)
那么， T T T 就称为从 V n V_n Vn 到 U m U_m Um 的线性映射，或称为线性变换。

例如，关系式
( y 1 y 2 ⋮ y m ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎛y1y2⋮ym⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞
就确定了一个从 R n \R^n Rn 到 R m \R^m Rm 的映射，并且是个线性映射。

不妨设 V n V_n Vn， U m U_m Um 分别是 n n n 维和 m m m 维线性空间， T T T 是一个从 V n V_n Vn 到 U m U_m Um 的映射，则线性变化具有下述基本性质：

性质 1　 T ( 0 ) = 0 T(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0} T(0)=0

证明　根据定义 2，任给 α ∈ V n \boldsymbol{\alpha} \in V_n α∈Vn，则有 T ( 0 ) = T ( 0 α ) = 0 T ( α ) = 0 T(\boldsymbol{0}) = T(0 \boldsymbol{\alpha}) = 0 T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0} T(0)=T(0α)=0T(α)=0。得证。

性质 2　 T ( − α ) = − T ( α T(-\boldsymbol{\alpha}) = - T(\boldsymbol{\alpha} T(−α)=−T(α)。

证明　根据定义 2，有 T ( − α ) = T [ ( − 1 ) × α ] = ( − 1 ) × T ( α ) = − T ( α ) T(-\boldsymbol{\alpha}) = T[(-1) \times \boldsymbol{\alpha}] = (-1) \times T(\boldsymbol{\alpha}) = - T(\boldsymbol{\alpha}) T(−α)=T[(−1)×α]=(−1)×T(α)=−T(α)。得证。

性质 3　若 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m \boldsymbol{\beta} = k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m β=k1α1+k2α2+⋯+kmαm，则 T ( β ) = k 1 T ( α 1 ) + k 2 T ( α 2 ) + ⋯ + k m T ( α m ) T(\boldsymbol{\beta}) = k_1 T(\boldsymbol{\alpha}_1) + k_2 T(\boldsymbol{\alpha}_2) + \cdots + k_m T(\boldsymbol{\alpha}_m) T(β)=k1T(α1)+k2T(α2)+⋯+kmT(αm)。

证明见 “【证明】线性映射不影响向量组的线性组合”。

性质 4　若 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m α1,α2,⋯,αm 线性相关，则 T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , ⋯ , T ( α m ) T(\boldsymbol{\alpha}_1),T(\boldsymbol{\alpha}_2),\cdots,T(\boldsymbol{\alpha}_m) T(α1),T(α2),⋯,T(αm) 亦线性相关。

证明见 “【证明】若向量组线性相关，则向量组的线性映射也线性相关”。

性质 5　线性变换 T T T 的像集 T ( V n ) T(V_n) T(Vn) 是一个线性空间。

证明见 “【证明】线性变换的像集是一个线性空间”。

线性空间 T T T 的像集 T ( V n ) T(V_n) T(Vn) 的线性空间，称为线性变换 %T% 的像空间。

性质 6　使 T ( α ) = 0 T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0} T(α)=0 的 α \boldsymbol{\alpha} α 的全体
N T = { α ∣ α ∈ V n , T ( α ) = 0 } N_T = \{ \boldsymbol{\alpha} | \boldsymbol{\alpha} \in V_n, T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0} \} NT={α∣α∈Vn,T(α)=0}
也是一个线性空间。

证明见 “【证明】线性变换的核是一个线性空间”。

N T N_T NT 称为线性变换 T T T 的核。

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