【推导】线性变换的矩阵表达式

前置定义 1　设 V n V_n Vn， U m U_m Um 分别是 n n n 维和 m m m 维线性空间， T T T 是一个从 V n V_n Vn 到 U m U_m Um 的映射，如果映射 T T T 满足：

（i）任给 α 1 , α 2 ∈ V n \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_n α1,α2∈Vn（从而 α 1 + α 2 ∈ V \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \in V α1+α2∈V），有
T ( α 1 + α 2 ) = T ( α 1 ) + T ( α 2 ) T(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) = T(\boldsymbol{\alpha}_1) + T(\boldsymbol{\alpha}_2) T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)
（ii）任给 α ∈ V n \boldsymbol{\alpha} \in V_n α∈Vn， λ ∈ R \lambda \in \R λ∈R（从而 λ α ∈ V n \lambda \boldsymbol{\alpha} \in V_n λα∈Vn），有
T ( λ α ) = λ T ( α ) T(\lambda \boldsymbol{\alpha}) = \lambda T(\boldsymbol{\alpha}) T(λα)=λT(α)
那么， T T T 就称为从 V n V_n Vn 到 U m U_m Um 的线性映射，或称为线性变换。

描述见 “线性变换及其基本性质”。

设有 n n n 阶矩阵
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} = (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) A=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞=(α1,α2,⋯,αn)
其中
α i = ( a 1 i a 2 i ⋮ a n i ) \boldsymbol{\alpha}_i = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{ni} \end{pmatrix} αi=⎝⎜⎜⎜⎛a1ia2i⋮ani⎠⎟⎟⎟⎞
定义 R n \R^n Rn 中的变换 y = T ( x ) \boldsymbol{y} = T(\boldsymbol{x}) y=T(x) 为
T ( x ) = A x ( x ∈ R n ) (1) T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \ (x \in R^n) \tag{1} T(x)=Ax (x∈Rn)(1)

1. 证明：变换 T T T 是线性变换

设 a , b ∈ R n \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in R^n a,b∈Rn， λ ∈ R \lambda \in R λ∈R，则
T ( a + b ) = A ( a + b ) = A a + A b = T ( a ) + T ( b ) (2) T(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{A} (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{a} + \boldsymbol{A} \boldsymbol{b} = T(\boldsymbol{a}) + T(\boldsymbol{b}) \tag{2} T(a+b)=A(a+b)=Aa+Ab=T(a)+T(b)(2)

T ( λ a ) = A ( λ a ) = λ A a = λ T ( a ) (3) T(\lambda \boldsymbol{a}) = \boldsymbol{A} (\lambda \boldsymbol{a}) = \lambda \boldsymbol{A} \boldsymbol{a} = \lambda T(\boldsymbol{a}) \tag{3} T(λa)=A(λa)=λAa=λT(a)(3)

又因为根据式 ( 1 ) (1) (1)， T T T 的像空间就是由 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α1,α2,⋯,αn 所生成的向量空间
T ( R n ) = { y = x 1 a 1 + x 2 a 2 + ⋯ + x n a n ∣ x 1 , x 2 , ⋯ x n ∈ R } T(\R^n) = \{ \boldsymbol{y} = x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots + x_n \boldsymbol{a}_n | x_1, x_2, \cdots x_n \in R \} T(Rn)={y=x1a1+x2a2+⋯+xnan∣x1,x2,⋯xn∈R}
显然， T T T 的像空间为 n n n 维线性空间，所以 T T T 是一个从 n n n 维线性空间到 n n n 维线性空间的映射。

综上所述，根据前置定义 1 可知， T T T 为线性变换。

2. 证明： R n \R^n Rn 中的任何一个线性变换都能用式 ( 1 ) (1) (1) 来表示。

不妨设单位坐标向量 e 1 , e 2 , ⋯ , e n \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n e1,e2,⋯,en 为单位坐标向量，将它们代入式 ( 1 ) (1) (1)，则有
α i = T ( e i ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) (4) \boldsymbol{\alpha}_i = T(\boldsymbol{e}_i) \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,n) \tag{4} αi=T(ei)(i=1,2,⋯,n)(4)
可见如果线性变换 T T T 有关系式 T ( x ) = A x T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} T(x)=Ax，那么矩阵 A \boldsymbol{A} A 应以 T ( e i ) T(\boldsymbol{e}_i) T(ei) 为列向量。

反之，设有任意线性变换 y = T ( x ) \boldsymbol{y} = T(\boldsymbol{x}) y=T(x)，将单位坐标向量 e 1 , e 2 , ⋯ , e n \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n e1,e2,⋯,en 代入，不妨设满足
T ( e i ) = β i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) T(\boldsymbol{e}_i) = \boldsymbol{\beta}_i \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,n) T(ei)=βi(i=1,2,⋯,n)
于是根据式 ( 2 ) (2) (2) 和式 ( 3 ) (3) (3)，有
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设 B = ( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n) B=(β1,β2,⋯,βn)，则根据上式 ( 5 ) (5) (5)，有
T ( x ) = B x T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{B} \boldsymbol{x} T(x)=Bx

3. 结论

综上所述， R n \R^n Rn 中任何线性变换 T T T，都能用关系式
T ( x ) = A x ( x ∈ R n ) T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \hspace{1em} (x \in \R^n) T(x)=Ax(x∈Rn)
表示，其中 A = ( T ( e 1 ) , T ( e 2 ) , ⋯ , T ( e n ) ) \boldsymbol{A} = (T(\boldsymbol{e}_1), T(\boldsymbol{e}_2), \cdots, T(\boldsymbol{e}_n)) A=(T(e1),T(e2),⋯,T(en))。

将上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有

定义 1　设 T T T 是线性空间 V n V_n Vn 中的线性变换，在 V n V_n Vn 中取定一个基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α1,α2,⋯,αn，如果这个基在变换 T T T 下的像（用这个基线性表示）为
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 16: \left\{ \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ & T(\boldsymb…
记 T ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) = ( T ( α 1 ) , T ( α 2 ) , ⋯ , T ( α n ) ) T(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) = (T(\boldsymbol{\alpha}_1), T(\boldsymbol{\alpha}_2), \cdots, T(\boldsymbol{\alpha}_n)) T(α1,α2,⋯,αn)=(T(α1),T(α2),⋯,T(αn))，则上式 ( 6 ) (6) (6) 可表示为
T ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) A (7) T(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) = (\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n) \boldsymbol{A} \tag{7} T(α1,α2,⋯,αn)=(α1,α2,⋯,αn)A(7)
其中
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞
那么， A \boldsymbol{A} A 就称为线性变换 T T T 在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_n α1,α2,⋯,αn 下的矩阵。

显然，矩阵 A \boldsymbol{A} A 由基的像 T ( α 1 ) , ⋯ , T ( α n ) T(\boldsymbol{\alpha}_1),\cdots,T(\boldsymbol{\alpha}_n) T(α1),⋯,T(αn) 唯一确定。