关于传递函数的离散化

软件编程中用到的数学是离散化的，而物理世界是连续的。把物理世界中连续性的方程表达式，转换成软件世界中离散形式是必须的。控制论中最重要的就是有关拉普拉斯变换的传递函数，只有把它变成离散形式（Z变换），这样才能用于编程（模拟实现）。下面打算一般形式的普拉斯变换的传递函数变成Z变换形式的数学原理做一下解释：（非本专业的人员可能看不懂，基本内容可以参考教材《自动控制原理（胡寿松版）》，好像教材中并没给出详细证明过程，决定补充一下这个证明过程）。

拉普拉斯变换与Z变换的关系（一）

题目1 证明如果连续函数f(t)的任意拉普拉斯变换为F(s),而且其的全部极点pi已知，则f(t)的Z变换F(z)为下式：

解：

存在下面公式

（公式1）

对于信号采样，有下面公式

从而

或

（公式2）

根据公式1，有：

代入公式2得到：

（公式3）

<注：公式3中的z只与采样有关,而与积分时使用的s无关>

定义

则：

（公式4）

对公式4两边同时乘上得到：

（公式5）

公式4减去公式5得到

（公式 6）

将公式6代入公式3得到

证明上式用到闭曲线，

为直线段,

：

R充分大的时候，。

证明完毕。

另：对留数的计算（极点是m阶重极点）

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