怎么看曲线有没有斜渐近线_关于曲线的斜渐近线
第
30
卷
第
3
期
高
师
理
科
学
刊
Vol.
30
No.3
2010
年
5
月
Journal
of
Science
of
Teachers
′
College
and
University
May
2010
文章编号：
1007-
9831
(
2010
)
03-
0035-
02
关
于
曲
线
的
斜
渐
近
线
崔瑞霞
(河南省人口和计划生育干部学院
基础部，河南
郑州
450008
)
摘要：在以往对曲线斜渐进线研究成果的基础上，指出了其共同性，提出了求曲线斜渐进线的新
方法．
关键词：曲线；斜渐进线；泰勒公式
中图分类号：
O13
文献标识码：
A
doi
：
10.3969/j.issn.1007-
9831.2010.03.012
1
以往研究成果
曲线的渐进线对研究曲线的性质有着非常重要的意义，各类数学分析
[
1]
、高等数学
[2
]
教材均给予了高度
重视与阐析．对曲线斜渐近线的研究较多，得到一些重要结论．
定理
1
[3
]
设
0
>
p
，函数
)
(x
f
y
=
在
)
,
[
∞
+
p
上可导
，若
b
ax
x
x
x
f
x
f
x
+
=
′
+
+
∞
→
)]
)(
(
)
(
[
lim
0
0
0
0
，则
0
)]
(
)
(
[
lim
=
+
+
∞
→
b
ax
x
f
x
，
即
b
ax
y
+
=
是
函
数
)
(x
f
y
=
的
渐
近
线
，
其
中
：
)
(
lim
x
f
a
x
′
=
+
∞
→
；
=
b
))
(
)
(
(
lim
x
f
x
x
f
x
′
+
∞
→
．
在
∞
→
x
时有同样的结论．
定
理
2
[4
]
设
0
>
p
，
)
(x
f
y
=
在
)
,
[
∞
+
p
上
内闭
有
界，
若
有
a
x
f
x
f
x
=
+
+
∞
→
))
(
)
1
(
(
lim
，
=
+
+
+
∞
→
)]
1
(
)
(
)
1
[(
lim
x
xf
x
f
x
x
b
，则直线
b
ax
y
+
=
是曲线
)
(x
f
y
=
的渐近线．
在
∞
→
x
时有同样的结论．
定理
3
[
5]
)
,
(
∞
+
∞
上的可导函数
)
(x
f
具有斜率为
k
的渐近线的充分必要条件是：
k
x
f
x
=
′
∞
→
)
(
lim
，其
中：
∞
→
x
包括
+
∞
→
x
或
∞
→
x
的情形．
2
几种研究成果的统一
2.1
定理
1
和定理
3
的统一
比较定理
1
和定理
3
可以发现，定理
1
和定理
3
前提一样，即函数
)
(x
f
y
=
可导．另外，定理
1
和定
理
3
结论一致，
定理
1
中的
a
就是定理
3
中的
k
，前者从切线的极限位置出发，后者从导函数的极限出发，
都得出曲线的斜渐近线的斜率为
)
(
lim
x
f
k
x
′
=
∞
→
，其中：
∞
→
x
包括
+
∞
→
x
或
∞
→
x
的情形．
2.2
定理
2
和定理
3
的统一
在定理
2
中，
))
(
)
1
(
(
lim
x
f
x
f
a
x
+
=
+
∞
→
，若假设
)
(x
f
y
=
在
)
,
[
∞
+
p
上可导．利用中值定理可知，存在
)
1
,
(
+
∈
x
x
ξ
，
使
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