基础数论算法（4）中国剩余定理

最后的gcd相关！

中国剩余定理是这么一个问题。
“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问物几何？”
答曰：二十三。口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。
嗯，我知道没有看懂。
首先来说一下这题是干啥的。实际上，题目想让解一个线性同余方程组：

⎧⎩⎨x≡2(mod 3)x≡3(mod 5)x≡2(mod 7)

\begin{cases} x\equiv 2 (mod \ \ 3)\\ x\equiv 3 (mod \ \ 5)\\ x \equiv 2 (mod \ \ 7)\end{cases}
古人的做法是这样的：
假设用向量 ⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\0\end{matrix} \right)表示线性同余方程组 ⎧⎩⎨x≡1(mod  3)x≡0(mod  5)x≡0(mod  7) \begin{cases} x\equiv 1 (mod \ \ 3)\\ x\equiv 0 (mod \ \ 5)\\ x \equiv 0 (mod \ \ 7)\end{cases}
那么我们首先求出 ⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\0\end{matrix} \right)， ⎛⎝⎜010⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix} \right)， ⎛⎝⎜001⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix}0\\ 0\\1\end{matrix} \right)
显然对于 ⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\0\end{matrix} \right)，x应该是35的倍数，即 x≡1(mod  35) x\equiv 1(mod \ \ 35)，试一下就知道结果是70.同理， ⎛⎝⎜010⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix} \right)=21， ⎛⎝⎜001⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix}0\\ 0\\1\end{matrix} \right)=15.
现在我们来看看，原方程组 ⎛⎝⎜232⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix} 2\\3\\2\end{matrix} \right)=2 ⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix} 1\\ 0\\0\end{matrix} \right)+3 ⎛⎝⎜010⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix} \right)+2 ⎛⎝⎜001⎞⎠⎟ \left( \begin{matrix}0\\ 0\\1\end{matrix} \right)=233.
计算一下3*5*7=105，所以结果就是233%105=23.
不知各位有体会到古人的智慧么？中国剩余定理是这样的：
自然数 m1,m2,m3,...,mn m_1,m_2,m_3,...,m_n两两互质，若N= m1⋅m2⋅m3⋅...⋅mn m_1·m_2·m_3·...·m_n，则方程 ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x≡b1(mod  m1)x≡b2(mod  m2)...x≡bn(mod  mn) \begin{cases}x \equiv b_1(mod \ \ m_1)\\ x\equiv b_2(mod \ \ m_2)\\...\\ x\equiv b_n(mod \ \ m_n)\end{cases}在模N同余下有唯一解。
模板：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define MAXN 10003
LL W[MAXN],B[MAXN],k;//k个方程式表示a同余B[n](mod W[n])
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b){        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return gcd;
}
LL china(){
    LL x,y,a=0,m,n=1;
    for(int i=0;i<k;++i) n*=W[i];
    for(int i=0;i<k;++i){        m=n*W[i];
        exgcd(W[i],m,x,y);
        a=(a+y*m*B[i])%n;
    }
    if(a>0) return a;
    else return a+n;
}
int main(){
    cin>>k;
    for(int i=0;i<k;++i)
        cin>>W[i]>>B[i];
    cout<<china();
}

那么如果遇到了非互质的情况怎么办？
http://www.cnblogs.com/Robert-Yuan/p/4646632.html
这是我个人觉得讲的相当好的一篇。因为我自认为没办法讲的比他清楚，这里也就不献丑了。
是不是觉得非常的坑？别担心。

zhx讲了一个非常神奇的方法：大数翻倍法，如果你想找到该方法的科学严谨的定义，可以去参考小学五年级数学奥数书。
这个方法是这样的：首先根据前两个式子得出一个公共的值，从而合并为一个新的式子。翻倍部分的实现如下：

int fanbei(int a1,int p1,int a2,int p2){//p1<p2ans=a2;while(ans % p1 != a1) ans+=p2;return ans;
}

将大数不断加倍直到满足小数的条件，非常神奇，复杂度是玄学的O( ∑an−min(an) \sum a_{n}-min(a_n))
这个方法是具有极强泛用性的，所以可以放心食用，不过……因为是玄学复杂度互质还是用剩余定理吧
~~难道有人会因为担心卡SPFA专门去写Dijkstra吗！其实是有的orz~~

那么关于同余和gcd的部分就告一段落了……之后是极为刺激的素数！

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