初阶数据结构初识二叉树

一. 树
- 1. 基本概念
- 2. 常用术语
- 3. 代码表示
- 4. 实际运用
二. 二叉树
- 1. 基本概念
- 2. 特殊的二叉树
- 3. .二叉树的顺序结构及实现
- - （1）顺序结构
  - （2）链式存储
- 4. 二叉树的性质
三两道简单题
- 题目一
- 题目二

一. 树

1. 基本概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

这里又几个容易错的概念给大家解释下

1 当n等于0时它也是一个数这时候将它称之为空数

2 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

3 子数是不相交的

4 除了根节点外所有节点有且只有一个父节点

5 一个N个节点的树一定有N-1个边

2. 常用术语

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度

这个很容易理解

比如说上图的A就有6个度

上图的D就有两个度

J有0个度

非终端节点或分支节点

度不等于0的节点就是非终端或分支节点

比如说 A D

双亲节点或父节点

如果说一个节点拥有子节点那么就称这个节点是它们子节点的父节点

比如说F是K的父节点

G是N的父节点

孩子节点或子节点

这个和上面的概念相反

只需要反过来就可以了

比如说

K是F的子节点

N是G的子节点

树的度

一个树中最大节点的度称为这个树的度

节点的层次

从树的根开始定义第一层是根第二层是根的子节点以此类推

树的高度或深度

树的最大层次称为这个数的高度

堂兄弟节点（不常用）

在同一层次的节点叫做堂兄弟节点

节点的祖先

从根到该节点所经分支上的所有节点

例如说在上图中A是所有节点的祖先

子孙

以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙

例如上图中所有节点都是A的子孙

由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

这个概念了解就好我们目前阶段其实用的不多

3. 代码表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

代码表示如下

typedef int DateType; // 定义我们下面的数据类型 struct Node
{struct Node* firstchild; // 第一个孩子节点struct Node* pnextbrothr; // 第一个兄弟节点DateType date;// 存储的数据
};

我们将每个节点储存它们的第一个孩子节点和第一个兄弟节点

那么我们要查找的时候就会是这样子

看上去很清晰是吧

4. 实际运用

我们储存文件就是使用的树这一种数据结构来存储的

想想看是不是

我们点开C盘然后出现很多的文件

再点开一个又会出现很多的文件

…

二. 二叉树

1. 基本概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

2. 特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

这里我们有两个比较特殊的二叉树

一个叫做满二叉树

一个叫做完全二叉树

什么是满二叉树呢？

就是除了根节点和叶节点之外每一个节点的度数都是2

什么是完全二叉树呢？

当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树

我们这里要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

3. .二叉树的顺序结构及实现

（1）顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。
现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

顺序结构就是将二叉树按照从左到右从上到下的顺序存储到数组当中

如果说不是一个完全二叉树的话就势必要空出来很多的位置从而导致空间的浪费

（2）链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。
链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

这里简单提一下大家有个印象就好

我们这几篇博客主要介绍顺序存储

代码表示如下

typedef int DateType; // 定义我们下面的数据类型 struct Node
{struct Node* firstchild; // 第一个孩子节点struct Node* pnextbrothr; // 第一个兄弟节点DateType date;// 存储的数据
};

4. 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=Log2(n+1). (ps：Log2(n+1)是log以2为
底，n+1为对数)
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：

1.若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2.若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3.若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

三两道简单题

题目一

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199

这个刚好符合我们的性质3

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

所以说叶节点或者说度为0的节点的个数是200

题目二

.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n
B n+1
C n-1
D n/2

这个时候我们假设将叶子的节点分为三种

一是度为0的节点 X0

一是度为2的节点 X2 （X0-1）

一是度为1的节点 X1（0或1）

这里要注意的是再一个完全二叉树中度为1的节点只有可能是0或1

所以说总的节点数等于

2X0-1+1 = 2n

或者

2X0 = 2n+1

所以说X0的个数为 N或者 (2N+1)/2

所以说叶节点的个数为n

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