【几何】计算任意多边形面积

2024-04-08 02:22:03

给定一系列有序的线段（比如按顺序给定每个线段的左端点坐标），求这些线段围成的多边形的面积，公式为：
任意一个点与顺序相邻两点组成的三角形面积之和
分为凸多边形和凹多边形分别证明：

一、凸多边形

如下所示的凸多边形，显然是对的，因为所有三角形拼起来就是整个多边形。

Stotal=S△ABC+S△ACD+S△ADES_{total} = S_{△ABC} + S_{△ACD} + S_{△ADE}Stotal=S△ABC+S△ACD+S△ADE，每个三角形的面积通过向量的叉乘的 1/2 计算（两个向量的叉乘几何意义就是两个向量组成的平行四边形面积），也就是 S△ABC=12∗AB→×AC→S_{△ABC} = \frac {1}{2} * \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}S△ABC=21∗AB×AC （其他三角形同理）。

二、凹多边形

凹多边形就不是那么显而易见了，因为每段线段按顺序和一个顶点相连后，很可能出现三角形覆盖面积不是多边形内部的情况出现，如下图：

这时，公式仍然是：Stotal=S△ABC+S△ACD+S△ADES_{total} = S_{△ABC} + S_{△ACD} + S_{△ADE}Stotal=S△ABC+S△ACD+S△ADE，这是因为三角形面积是有正负的！，S△ABCS_{△ABC}S△ABC 的值由于 B 和 C 的顺序关系，变成了负数，也就是说，多边形面积应该是区域1 + 区域2，S△ABC=−3S_{△ABC} = -3S△ABC=−3，S△ACD=3+2S_{△ACD} = 3 + 2S△ACD=3+2，S△ADE=1S_{△ADE} = 1S△ADE=1，所以 Stotal=S△ABC+S△ACD+S△ADE=−3+3+2+1=2+1S_{total} = S_{△ABC} + S_{△ACD} + S_{△ADE} = -3 + 3 + 2 + 1 = 2 + 1Stotal=S△ABC+S△ACD+S△ADE=−3+3+2+1=2+1，还是正确的。

另外，不选用多边形上的端点也是可以的，平民内任意点都是可以的。

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