欧拉角速度与角速度的关系推导——欧拉运动方程

最近研究欧拉角速度与角速度之间的关系，特别折磨，网上的资料要不就是地理学的进动——章动——自转那一套欧拉角与角速度的关系，要不就是陀螺仪那一套欧拉角与角速度的关系，不具有普遍性，因此在大干三天后，将自己的心得写上来供大家参考。

欧拉角

欧拉角的定义不再赘述，简单来说它是确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量。这个东西坏就坏在它有太多种了。绕轴转动的顺序不同（如x-y-z和x-z-y），绕轴转动的类型不同（指绕惯性坐标系x-y-z或刚体固连坐标系x-y’-z’‘），两次转动绕同一轴如（z-x’-z’‘）等等，都会产生不同的欧拉角。而且不同学科不同场合使用的欧拉角不同，甚至同一欧拉角的俗称也不同，带来了非常大的不便。在机器人学中，常用的是以下两种欧拉角：
RPY角 ：指绕惯性坐标系旋转（即绕的轴在整个旋转中是固定不变的），依次绕X轴（roll角），Y轴（pitch角），Z轴（yaw角）进行旋转。
ZYX角：指绕刚体固连坐标系旋转（即绕的轴会随着旋转变化而变化），依次绕z轴（yaw角），旋转后的y’轴（pitch角），两次旋转后的x’‘轴(roll）角进行旋转。
注意，这两种旋转是完全等价的，即若roll，pitch，yaw取相同的值，按这两种过程进行旋转，得到的结果相同。
在一些设计仿真软件（如adams）中，它们的Eular Angel指的是ZYZ角，即绕刚体固连系的z轴，y’轴，z’'轴进行旋转。

角速度

角速度很简单，初中生都知道。但是具体使用起来却容易出错。因为角速度有两种表示方式，一种表示在惯性坐标系，为全局角速度。常用在机器人运动学求解等领域。另一种表示在刚体固连坐标系，为随体角速度。常用在陀螺仪、惯导等领域。这两种角速度在于欧拉角之间进行转换时，思路是不同的。

全局角速度与ZYX欧拉角速率之间的转换

角速度w是表示在惯性坐标系的，可分解为
w=wxi+wyj+wzkw=w_{x}i+w_{y}j+w_{z}kw=wxi+wyj+wzk
同时，有可以将它分解到刚体固连坐标系三次旋转的转轴上：
w=dr⋅e1+dp⋅e2+dy⋅e3w=dr·e_{1}+dp·e_{2}+dy·e_{3}w=dr⋅e1+dp⋅e2+dy⋅e3
dr、dp、dy即为roll、pitch、yaw角速度的值.
(1)首先，绕着固连系z轴（也是惯性系z轴）旋转dy完成了第一次旋转，其值为
dy⋅e3=[100010001]⋅[dr00]dy·e_{3}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} dr \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] dy⋅e3=⎣⎡100010001⎦⎤⋅⎣⎡dr00⎦⎤
(2)其次，绕着固连系（这里的固连系并非狭义上的固连系，而是值进行过一次roll旋转的坐标系，注意是roll旋转而不是上文提到的dr旋转）的y’轴进行第二次旋转，旋转量为dp，固连系的y’轴与惯性系的y轴之间存在RyawR_{yaw}Ryaw的变换，即
dp⋅e2=[cos(yaw)−sin(yaw)0sin(yaw)cos(yaw)0001]⋅[0dp0]dp·e_{2}=\left[\begin{array}{ccc} cos(yaw) & -sin(yaw) & 0 \\ sin(yaw) & cos(yaw) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} 0 \\ dp \\ 0 \end{array}\right] dp⋅e2=⎣⎡cos(yaw)sin(yaw)0−sin(yaw)cos(yaw)0001⎦⎤⋅⎣⎡0dp0⎦⎤
(3）最后，绕着固连系的x’‘轴轴旋转dr。此时的x’'轴和惯性系的x轴之间存在RyawRpitchR_{yaw}R_{pitch}RyawRpitch的变换，即
dp⋅e2=[cos(yaw)−sin(yaw)0sin(yaw)cos(yaw)0001][cos(pitch)0sin(pitch)10−sin(pitch)0cos(pitch)]⋅[00dy]dp·e_{2}=\left[\begin{array}{ccc} cos(yaw) & -sin(yaw) & 0 \\ sin(yaw) & cos(yaw) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} cos(pitch) & 0 & sin(pitch) \\ & 1 & 0 \\ -sin(pitch) & 0 & cos(pitch) \\ \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ dy \end{array}\right] dp⋅e2=⎣⎡cos(yaw)sin(yaw)0−sin(yaw)cos(yaw)0001⎦⎤⎣⎡cos(pitch)−sin(pitch)010sin(pitch)0cos(pitch)⎦⎤⋅⎣⎡00dy⎦⎤
将三者相加，就可得到角速度与欧拉角速度率的关系：
换，即
[wxwywz]=[cos(pitch)∗cos(yaw)−sin(yaw)0cos(pitch)∗sin(yaw)cos(yaw)0−sin(pitch)01]⋅[drdpdy]\left[\begin{array}{c} wx \\ wy \\ wz \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} cos(pitch)*cos(yaw) & -sin(yaw) & 0 \\ cos(pitch)*sin(yaw) & cos(yaw) & 0 \\ -sin(pitch) & 0 & 1 \\ \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} dr \\ dp \\ dy \end{array}\right] ⎣⎡wxwywz⎦⎤=⎣⎡cos(pitch)∗cos(yaw)cos(pitch)∗sin(yaw)−sin(pitch)−sin(yaw)cos(yaw)0001⎦⎤⋅⎣⎡drdpdy⎦⎤
若要求得随体角速度和ZYX角速度的关系，方法与上面类似，但要注意顺序是反过来的，即dr是绕随体坐标系中的x轴，无需进行变换，dp需要进行RyawR_{yaw}Ryaw的逆变换等等。结果如下：
w=dr+Rroll′⋅dp+Rroll′Rpitch′⋅dyw=dr+ R_{roll}'·dp+R_{roll}'R_{pitch}'·dyw=dr+Rroll′⋅dp+Rroll′Rpitch′⋅dy
即：
[wxwywz]=[10−sin(pitch)0cos(roll)cos(pitch)∗sin(roll)0−sin(roll)cos(pitch)∗cos(roll)]⋅[drdpdy]\left[\begin{array}{c} wx \\ wy \\ wz \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -sin(pitch) \\ 0 & cos(roll) & cos(pitch)*sin(roll) \\ 0 & -sin(roll) & cos(pitch)*cos(roll) \\ \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} dr \\ dp \\ dy \end{array}\right] ⎣⎡wxwywz⎦⎤=⎣⎡1000cos(roll)−sin(roll)−sin(pitch)cos(pitch)∗sin(roll)cos(pitch)∗cos(roll)⎦⎤⋅⎣⎡drdpdy⎦⎤
对于全局RPY角，由于其与ZYX角等效，结果完全相同，推导方法也类似。至于其他的欧拉角种类，推导方法也是相似的，朋友们可以自己尝试一下。