车身坐标系与大地坐标系中速度、加速度转换关系推导与分析

在不同的坐标系中，向量的大小和方向都是不变的，但是可以根据不同的坐标系将向量描述成不同的结果。

图1 车身坐标系与大地坐标系速度转换

已知 x − o − y x-o-y x−o−y为车身坐标系， e ⃗ x \vec{e}_x e x和 e ⃗ y \vec{e}_y e y分别为 x x x轴和 y y y轴方向的单位向量， θ \theta θ为车辆横摆角， θ ˙ \dot{\theta} θ˙为车辆横摆角速度； X − O − Y X-O-Y X−O−Y为大地坐标系， e ⃗ X \vec{e}_X e X和 e ⃗ Y \vec{e}_Y e Y分别为 X X X轴和 Y Y Y轴方向的单位向量。

依据单位向量的平方为1的原理，可以建立如下等式：
e ⃗ x 2 + e ⃗ y 2 = e ⃗ X 2 + e ⃗ Y 2 （ 1 ） \vec{e}_x^2 + \vec{e}_y^2 = \vec{e}_X^2 + \vec{e}_Y^2 \qquad（1） e x2+e y2=e X2+e Y2（1）

式(1)左右两边同时乘以 e ⃗ x \vec{e}_x e x，可得：
e ⃗ x ⋅ e ⃗ x ⋅ e ⃗ x + e ⃗ x ⋅ e ⃗ y ⋅ e ⃗ y = e ⃗ x ⋅ e ⃗ X ⋅ e ⃗ X + e ⃗ x ⋅ e ⃗ Y ⋅ e ⃗ Y （ 2 ） \vec{e}_x \cdot \vec{e}_x \cdot \vec{e}_x + \vec{e}_x \cdot \vec{e}_y \cdot \vec{e}_y = \vec{e}_x \cdot \vec{e}_X \cdot \vec{e}_X + \vec{e}_x \cdot \vec{e}_Y \cdot \vec{e}_Y \qquad（2） e x⋅e x⋅e x+e x⋅e y⋅e y=e x⋅e X⋅e X+e x⋅e Y⋅e Y（2）

( e ⃗ x ⋅ e ⃗ x ) e ⃗ x + ( e ⃗ x ⋅ e ⃗ y ) e ⃗ y = ( e ⃗ x ⋅ e ⃗ X ) e ⃗ X + ( e ⃗ x ⋅ e ⃗ Y ) e ⃗ Y （ 3 ） (\vec{e}_x \cdot \vec{e}_x) \vec{e}_x + (\vec{e}_x \cdot \vec{e}_y) \vec{e}_y = (\vec{e}_x \cdot \vec{e}_X) \vec{e}_X + (\vec{e}_x \cdot \vec{e}_Y) \vec{e}_Y \qquad（3） (e x⋅e x)e x+(e x⋅e y)e y=(e x⋅e X)e X+(e x⋅e Y)e Y（3）

根据图1可得向量点乘关系：
{ e ⃗ x ⋅ e ⃗ y = 0 e ⃗ X ⋅ e ⃗ Y = 0 e ⃗ x ⋅ e ⃗ X = cos ⁡ θ e ⃗ x ⋅ e ⃗ Y = cos ⁡ ( π / 2 − θ ) = sin ⁡ θ e ⃗ y ⋅ e ⃗ X = cos ⁡ ( π / 2 + θ ) = − sin ⁡ θ e ⃗ y ⋅ e ⃗ Y = cos ⁡ θ ; （ 4 ） \begin{cases} \vec{e}_x \cdot \vec{e}_y = 0 \\ \vec{e}_X \cdot \vec{e}_Y = 0 \\ \vec{e}_x \cdot \vec{e}_X = \cos \theta \\ \vec{e}_x \cdot \vec{e}_Y = \cos (\pi / 2 - \theta) = \sin \theta \\ \vec{e}_y \cdot \vec{e}_X = \cos (\pi / 2 + \theta) = -\sin \theta \\ \vec{e}_y \cdot \vec{e}_Y = \cos \theta ; \end{cases} \qquad（4） ⎩ ⎨ ⎧e x⋅e y=0e X⋅e Y=0e x⋅e X=cosθe x⋅e Y=cos(π/2−θ)=sinθe y⋅e X=cos(π/2+θ)=−sinθe y⋅e Y=cosθ;（4）

将式(4)带入式(3)可得：

e ⃗ x = cos ⁡ θ ⋅ e ⃗ X + sin ⁡ θ ⋅ e ⃗ Y （ 5 ） \vec{e}_x = \cos \theta \cdot \vec{e}_X + \sin \theta \cdot \vec{e}_Y \qquad（5） e x=cosθ⋅e X+sinθ⋅e Y（5）

同理，可得：
{ ( e ⃗ x ⋅ e ⃗ x ) e ⃗ x + ( e ⃗ x ⋅ e ⃗ y ) e ⃗ y = ( e ⃗ x ⋅ e ⃗ X ) e ⃗ X + ( e ⃗ x ⋅ e ⃗ Y ) e ⃗ Y ( e ⃗ y ⋅ e ⃗ x ) e ⃗ x + ( e ⃗ y ⋅ e ⃗ y ) e ⃗ y = ( e ⃗ y ⋅ e ⃗ X ) e ⃗ X + ( e ⃗ y ⋅ e ⃗ Y ) e ⃗ Y （ 6 ） \begin{cases} (\vec{e}_x \cdot \vec{e}_x) \vec{e}_x + (\vec{e}_x \cdot \vec{e}_y) \vec{e}_y = (\vec{e}_x \cdot \vec{e}_X) \vec{e}_X + (\vec{e}_x \cdot \vec{e}_Y) \vec{e}_Y \\ (\vec{e}_y \cdot \vec{e}_x) \vec{e}_x + (\vec{e}_y \cdot \vec{e}_y) \vec{e}_y = (\vec{e}_y \cdot \vec{e}_X) \vec{e}_X + (\vec{e}_y \cdot \vec{e}_Y) \vec{e}_Y \end{cases} \qquad（6） {(e x⋅e x)e x+(e x⋅e y)e y=(e x⋅e X)e X+(e x⋅e Y)e Y(e y⋅e x)e x+(e y⋅e y)e y=(e y⋅e X)e X+(e y⋅e Y)e Y（6）

{ e ⃗ x = cos ⁡ θ ⋅ e ⃗ X + sin ⁡ θ ⋅ e ⃗ Y e ⃗ y = − sin ⁡ θ ⋅ e ⃗ X + cos ⁡ θ ⋅ e ⃗ Y （ 7 ） \begin{cases} \vec{e}_x = \cos \theta \cdot \vec{e}_X + \sin \theta \cdot \vec{e}_Y \\ \vec{e}_y = -\sin \theta \cdot \vec{e}_X + \cos \theta \cdot \vec{e}_Y \end{cases} \qquad（7） {e x=cosθ⋅e X+sinθ⋅e Ye y=−sinθ⋅e X+cosθ⋅e Y（7）

{ ( e ⃗ X ⋅ e ⃗ x ) e ⃗ x + ( e ⃗ X ⋅ e ⃗ y ) e ⃗ y = ( e ⃗ X ⋅ e ⃗ X ) e ⃗ X + ( e ⃗ X ⋅ e ⃗ Y ) e ⃗ Y ( e ⃗ Y ⋅ e ⃗ x ) e ⃗ x + ( e ⃗ Y ⋅ e ⃗ y ) e ⃗ y = ( e ⃗ Y ⋅ e ⃗ X ) e ⃗ X + ( e ⃗ Y ⋅ e ⃗ Y ) e ⃗ Y （ 8 ） \begin{cases} (\vec{e}_X \cdot \vec{e}_x) \vec{e}_x + (\vec{e}_X \cdot \vec{e}_y) \vec{e}_y = (\vec{e}_X \cdot \vec{e}_X) \vec{e}_X + (\vec{e}_X \cdot \vec{e}_Y) \vec{e}_Y \\ (\vec{e}_Y \cdot \vec{e}_x) \vec{e}_x + (\vec{e}_Y \cdot \vec{e}_y) \vec{e}_y = (\vec{e}_Y \cdot \vec{e}_X) \vec{e}_X + (\vec{e}_Y \cdot \vec{e}_Y) \vec{e}_Y \end{cases} \qquad（8） {(e X⋅e x)e x+(e X⋅e y)e y=(e X⋅e X)e X+(e X⋅e Y)e Y(e Y⋅e x)e x+(e Y⋅e y)e y=(e Y⋅e X)e X+(e Y⋅e Y)e Y（8）

{ e ⃗ X = cos ⁡ θ ⋅ e ⃗ x − sin ⁡ θ ⋅ e ⃗ y e ⃗ Y = sin ⁡ θ ⋅ e ⃗ x + cos ⁡ θ ⋅ e ⃗ y （ 9 ） \begin{cases} \vec{e}_X = \cos \theta \cdot \vec{e}_x - \sin \theta \cdot \vec{e}_y \\ \vec{e}_Y = \sin \theta \cdot \vec{e}_x + \cos \theta \cdot \vec{e}_y \end{cases} \qquad（9） {e X=cosθ⋅e x−sinθ⋅e ye Y=sinθ⋅e x+cosθ⋅e y（9）

根据图1可以建立：
v ⃗ = v X ⋅ e ⃗ X + v Y ⋅ e ⃗ Y = v x ⋅ e ⃗ x + v y ⋅ e ⃗ y （ 10 ） \vec{v} = v_X \cdot \vec{e}_X + v_Y \cdot \vec{e}_Y = v_x \cdot \vec{e}_x + v_y \cdot \vec{e}_y \qquad（10） v =vX⋅e X+vY⋅e Y=vx⋅e x+vy⋅e y（10）

将式(7)代入式(10)中可得：
v X ⋅ e ⃗ X + v Y ⋅ e ⃗ Y = ( v x cos ⁡ θ − v y sin ⁡ θ ) e ⃗ X + ( v x sin ⁡ θ + v y cos ⁡ θ ) e ⃗ Y （ 11 ） v_X \cdot \vec{e}_X + v_Y \cdot \vec{e}_Y = (v_x \cos \theta - v_y \sin \theta) \vec{e}_X + (v_x \sin \theta + v_y \cos \theta) \vec{e}_Y \qquad（11） vX⋅e X+vY⋅e Y=(vxcosθ−vysinθ)e X+(vxsinθ+vycosθ)e Y（11）

根据等式两边对应向量乘数相等可得：
{ v X = v x cos ⁡ θ − v y sin ⁡ θ v Y = v x sin ⁡ θ + v y cos ⁡ θ （ 12 ） \begin{cases} v_X = v_x \cos \theta - v_y \sin \theta \\ v_Y = v_x \sin \theta + v_y \cos \theta \end{cases} \qquad（12） {vX=vxcosθ−vysinθvY=vxsinθ+vycosθ（12）

同理，将式(9)代入式(10)中可得：
{ v x = v X cos ⁡ θ + v Y sin ⁡ θ v y = − v X sin ⁡ θ + v Y cos ⁡ θ （ 13 ） \begin{cases} v_x = v_X \cos \theta + v_Y \sin \theta \\ v_y = -v_X \sin \theta + v_Y \cos \theta \end{cases} \qquad（13） {vx=vXcosθ+vYsinθvy=−vXsinθ+vYcosθ（13）

图2 车身坐标系与大地坐标系速度转换

根据图2可以建立：
a ⃗ = a X ⋅ e ⃗ X + a Y ⋅ e ⃗ Y = a x ⋅ e ⃗ x + a y ⋅ e ⃗ y （ 14 ） \vec{a} = a_X \cdot \vec{e}_X + a_Y \cdot \vec{e}_Y = a_x \cdot \vec{e}_x + a_y \cdot \vec{e}_y \qquad（14） a =aX⋅e X+aY⋅e Y=ax⋅e x+ay⋅e y（14）

采用上文中推导速度关系类似的方法，可以将式(7)和式(9)代入式(14)中分别得到式(15)和式(16):
{ a X = a x cos ⁡ θ − a y sin ⁡ θ a Y = a x sin ⁡ θ + a y cos ⁡ θ （ 15 ） \begin{cases} a_X = a_x \cos \theta - a_y \sin \theta \\ a_Y = a_x \sin \theta + a_y \cos \theta \end{cases} \qquad（15） {aX=axcosθ−aysinθaY=axsinθ+aycosθ（15）

{ a x = a X cos ⁡ θ + a Y sin ⁡ θ a y = − a X sin ⁡ θ + a Y cos ⁡ θ （ 16 ） \begin{cases} a_x = a_X \cos \theta + a_Y \sin \theta \\ a_y = -a_X \sin \theta + a_Y \cos \theta \end{cases} \qquad（16） {ax=aXcosθ+aYsinθay=−aXsinθ+aYcosθ（16）

将式(12)对时间进行求导可得：
{ v ˙ X = v ˙ x cos ⁡ θ − v x θ ˙ sin ⁡ θ − v ˙ y sin ⁡ θ − v y θ ˙ cos ⁡ θ = ( v ˙ x − v y θ ˙ ) cos ⁡ θ − ( v ˙ y + v x θ ˙ ) sin ⁡ θ v ˙ Y = v ˙ x sin ⁡ θ + v x θ ˙ cos ⁡ θ + v ˙ y cos ⁡ θ − v y θ ˙ sin ⁡ θ = ( v ˙ x − v y θ ˙ ) sin ⁡ θ + ( v ˙ y + v x θ ˙ ) cos ⁡ θ （ 17 ） \begin{cases} \dot{v}_X = \dot{v}_x \cos \theta - v_x \dot{\theta} \sin \theta - \dot{v}_y \sin \theta - v_y \dot{\theta} \cos \theta = (\dot{v}_x - v_y \dot{\theta}) \cos \theta - (\dot{v}_y + v_x \dot{\theta}) \sin \theta \\ \dot{v}_Y = \dot{v}_x \sin \theta + v_x \dot{\theta} \cos \theta + \dot{v}_y \cos \theta - v_y \dot{\theta} \sin \theta = (\dot{v}_x - v_y \dot{\theta}) \sin \theta + (\dot{v}_y + v_x \dot{\theta}) \cos \theta \end{cases} \qquad（17） {v˙X=v˙xcosθ−vxθ˙sinθ−v˙ysinθ−vyθ˙cosθ=(v˙x−vyθ˙)cosθ−(v˙y+vxθ˙)sinθv˙Y=v˙xsinθ+vxθ˙cosθ+v˙ycosθ−vyθ˙sinθ=(v˙x−vyθ˙)sinθ+(v˙y+vxθ˙)cosθ（17）

对比式(15)与式(17)并结合式(16),可得：
{ a X = v ˙ X = ( v ˙ x − v y θ ˙ ) cos ⁡ θ − ( v ˙ y + v x θ ˙ ) sin ⁡ θ a Y = v ˙ Y = ( v ˙ x − v y θ ˙ ) sin ⁡ θ + ( v ˙ y + v x θ ˙ ) cos ⁡ θ （ 18 ） \begin{cases} a_X = \dot{v}_X = (\dot{v}_x - v_y \dot{\theta}) \cos \theta - (\dot{v}_y + v_x \dot{\theta}) \sin \theta \\ a_Y = \dot{v}_Y = (\dot{v}_x - v_y \dot{\theta}) \sin \theta + (\dot{v}_y + v_x \dot{\theta}) \cos \theta \end{cases} \qquad（18） {aX=v˙X=(v˙x−vyθ˙)cosθ−(v˙y+vxθ˙)sinθaY=v˙Y=(v˙x−vyθ˙)sinθ+(v˙y+vxθ˙)cosθ（18）

{ a x = v ˙ x − v y θ ˙ a y = v ˙ y + v x θ ˙ （ 19 ） \begin{cases} a_x = \dot{v}_x - v_y \dot{\theta} \\ a_y = \dot{v}_y + v_x \dot{\theta} \end{cases} \qquad（19） {ax=v˙x−vyθ˙ay=v˙y+vxθ˙（19）

{ a x = v ˙ X cos ⁡ θ + v ˙ Y sin ⁡ θ a y = − v ˙ X sin ⁡ θ + v ˙ Y cos ⁡ θ （ 20 ） \begin{cases} a_x = \dot{v}_X \cos \theta + \dot{v}_Y \sin \theta \\ a_y = -\dot{v}_X \sin \theta + \dot{v}_Y \cos \theta \end{cases} \qquad（20） {ax=v˙Xcosθ+v˙Ysinθay=−v˙Xsinθ+v˙Ycosθ（20）

关于车身坐标系与大地坐标系中速度、加速度关系的推导到此处基本已经完成，如果有朋友觉得加速度关系推导仅依据式(15)与式(17)进行对比而得有些牵强或不太理解，可以往下继续查看另一种推导思路。

本文中将大地坐标系作为惯性坐标系（即坐标系固定不变，可用于车辆进行运动参照），所以 e ⃗ X \vec{e}_X e X与 e ⃗ Y \vec{e}_Y e Y对时间求导为零：
{ e ⃗ ˙ X = 0 e ⃗ ˙ Y = 0 （ 21 ） \begin{cases} \dot{\vec{e}}_X=0 \\ \dot{\vec{e}}_Y=0 \end{cases} \qquad（21） {e ˙X=0e ˙Y=0（21）

而车身坐标系作为非惯性参考系（即坐标系会随时间不断变化），所以可以将式(7)对时间进行求导，得：
{ e ⃗ ˙ x = − θ ˙ sin ⁡ θ ⋅ e ⃗ X + θ ˙ cos ⁡ θ ⋅ e ⃗ Y = θ ˙ ( − sin ⁡ θ ⋅ e ⃗ X + cos ⁡ θ ⋅ e ⃗ Y ) = θ ˙ ⋅ e ⃗ y e ⃗ ˙ y = − θ ˙ cos ⁡ θ ⋅ e ⃗ X − θ ˙ sin ⁡ θ ⋅ e ⃗ Y = − θ ˙ ( cos ⁡ θ ⋅ e ⃗ X + sin ⁡ θ ⋅ e ⃗ Y ) = − θ ˙ ⋅ e ⃗ x （ 22 ） \begin{cases} \dot{\vec{e}}_x = -\dot{\theta} \sin \theta \cdot \vec{e}_X + \dot{\theta} \cos \theta \cdot \vec{e}_Y = \dot{\theta} (-\sin \theta \cdot \vec{e}_X + \cos \theta \cdot \vec{e}_Y) = \dot{\theta} \cdot \vec{e}_y \\ \dot{\vec{e}}_y = -\dot{\theta} \cos \theta \cdot \vec{e}_X - \dot{\theta} \sin \theta \cdot \vec{e}_Y = -\dot{\theta} (\cos \theta \cdot \vec{e}_X + \sin \theta \cdot \vec{e}_Y) = -\dot{\theta} \cdot \vec{e}_x \end{cases} \qquad（22） {e ˙x=−θ˙sinθ⋅e X+θ˙cosθ⋅e Y=θ˙(−sinθ⋅e X+cosθ⋅e Y)=θ˙⋅e ye ˙y=−θ˙cosθ⋅e X−θ˙sinθ⋅e Y=−θ˙(cosθ⋅e X+sinθ⋅e Y)=−θ˙⋅e x（22）

将式(10)对时间求导可得：
v ⃗ ˙ = v ˙ X ⋅ e ⃗ X + v ˙ Y ⋅ e ⃗ Y = v ˙ x ⋅ e ⃗ x + v x ⋅ e ⃗ ˙ x + v ˙ y ⋅ e ⃗ y + v y ⋅ e ⃗ ˙ y （ 23 ） \dot{\vec{v}} = \dot{v}_X \cdot \vec{e}_X + \dot{v}_Y \cdot \vec{e}_Y = \dot{v}_x \cdot \vec{e}_x + v_x \cdot \dot{\vec{e}}_x + \dot{v}_y \cdot \vec{e}_y + v_y \cdot \dot{\vec{e}}_y \qquad（23） v ˙=v˙X⋅e X+v˙Y⋅e Y=v˙x⋅e x+vx⋅e ˙x+v˙y⋅e y+vy⋅e ˙y（23）

注意：在推导得到式(22)和式(23)的过程中，考虑了式(21)的代入。

因为 a ⃗ = v ⃗ ˙ \vec{a} = \dot{\vec{v}} a =v ˙，所以结合式(14)、式(22)和式(23)，可得：
a x ⋅ e ⃗ x + a y ⋅ e ⃗ y = v ˙ x ⋅ e ⃗ x + v x ⋅ e ⃗ ˙ x + v ˙ y ⋅ e ⃗ y + v y ⋅ e ⃗ ˙ y = ( v ˙ x − v y θ ˙ ) e ⃗ x + ( v ˙ y + v x θ ˙ ) e ⃗ y （ 24 ） \begin{aligned} a_x \cdot \vec{e}_x + a_y \cdot \vec{e}_y &= \dot{v}_x \cdot \vec{e}_x + v_x \cdot \dot{\vec{e}}_x + \dot{v}_y \cdot \vec{e}_y + v_y \cdot \dot{\vec{e}}_y \\ &= (\dot{v}_x - v_y \dot{\theta}) \vec{e}_x + (\dot{v}_y + v_x \dot{\theta}) \vec{e}_y \end{aligned} \qquad（24） ax⋅e x+ay⋅e y=v˙x⋅e x+vx⋅e ˙x+v˙y⋅e y+vy⋅e ˙y=(v˙x−vyθ˙)e x+(v˙y+vxθ˙)e y（24）

a X ⋅ e ⃗ X + a Y ⋅ e ⃗ Y = ( v ˙ x − v y θ ˙ ) e ⃗ x + ( v ˙ y + v x θ ˙ ) e ⃗ y = ( ( v ˙ x − v y θ ˙ ) cos ⁡ θ − ( v ˙ y + v x θ ˙ ) sin ⁡ θ ) e ⃗ X + ( ( v ˙ x − v y θ ˙ ) sin ⁡ θ + ( v ˙ y + v x θ ˙ ) cos ⁡ θ ) e ⃗ Y （ 25 ） \begin{aligned} a_X \cdot \vec{e}_X + a_Y \cdot \vec{e}_Y &= (\dot{v}_x - v_y \dot{\theta}) \vec{e}_x + (\dot{v}_y + v_x \dot{\theta}) \vec{e}_y \\ &= ((\dot{v}_x - v_y \dot{\theta}) \cos \theta - (\dot{v}_y + v_x \dot{\theta}) \sin \theta) \vec{e}_X \\ &+ ((\dot{v}_x - v_y \dot{\theta}) \sin \theta + (\dot{v}_y + v_x \dot{\theta}) \cos \theta) \vec{e}_Y \end{aligned} \qquad（25） aX⋅e X+aY⋅e Y=(v˙x−vyθ˙)e x+(v˙y+vxθ˙)e y=((v˙x−vyθ˙)cosθ−(v˙y+vxθ˙)sinθ)e X+((v˙x−vyθ˙)sinθ+(v˙y+vxθ˙)cosθ)e Y（25）

a x ⋅ e ⃗ x + a y ⋅ e ⃗ y = v ˙ X ⋅ e ⃗ X + v ˙ Y ⋅ e ⃗ Y = ( v ˙ X cos ⁡ θ + v ˙ Y sin ⁡ θ ) e ⃗ x + ( − v ˙ X sin ⁡ θ + v ˙ Y cos ⁡ θ ) e ⃗ y （ 26 ） \begin{aligned} a_x \cdot \vec{e}_x + a_y \cdot \vec{e}_y &= \dot{v}_X \cdot \vec{e}_X + \dot{v}_Y \cdot \vec{e}_Y \\ &= (\dot{v}_X \cos \theta + \dot{v}_Y \sin \theta) \vec{e}_x + (-\dot{v}_X \sin \theta + \dot{v}_Y \cos \theta) \vec{e}_y \end{aligned} \qquad（26） ax⋅e x+ay⋅e y=v˙X⋅e X+v˙Y⋅e Y=(v˙Xcosθ+v˙Ysinθ)e x+(−v˙Xsinθ+v˙Ycosθ)e y（26）

依据式(24)、式(25)、式(26)可分别得出式(19)、式(18)、式(20)。据此，推导完成。

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