[ARC055D]隠された等差数列

题意：对一个等差数列$a_i=A+Bi(0\leq i\leq n-1)$和非负整数$x$，把$a_i$的$10^x$位拿出来可以写成一个字符集为$0\cdots9$的字符串，现在给定这个字符串$d_{0\cdots n-1}$，求最小的$A$，或输出无解

如果$x\gt0$，那么有可能产生进位，所以$d_{i+1}-d_i$的取值最多能有$2$种，如果只有$1$种，显然$d_0$就是答案

如果有两种，这两种取值在$\bmod10$意义下必须相差$1$，较小那个（$9\lt0$）就是$B$的$x-1$位

先扫一遍，用$B$的$x$位把$d_i$的$x$位向高位的进位复原，得到$d'_i$，现在条件变为$\left\lfloor\frac{a_i}{10^x}\right\rfloor=d'_i$，也可以写成$d'_i\cdot10^x\leq a_i\lt(d'_i+1)\cdot10^x$

我们已经知道了$d_i'$，现在要找到符合以上不等式的$a_i$并使得$a_0$最小，因为$x$越大限制越宽松，同时最小的$a_0$越大，所以考虑从小到大枚举$x$并判断是否能满足条件

实际上我们要找的是一条直线，它必须经过每条端点为$(i,d'_i\cdot10^x),(i,(d'_i+1)\cdot10^x)$的线段，两两枚举$d'_i$和$d'_j+1$，求出斜率的范围，然后不停增大$x$直到这个范围包含整数为止

虽然$n=10^4$，但因为atcoder评测机实在太快了，所以是能过的

以下是更快的方法（我没写==）

横纵坐标范围为$O(n)$的任意整点点集的凸包的大小为$O(n^{\frac23})$，证明如下（来自zjt）

先考虑求左下凸壳的大小，其他方向是一样的，这个凸壳的每条边对应的向量互相叉积$\gt0$，且所有向量的$x$之和和$y$之和都是$O(n)$级别的（$x,y\geq0$）

对问题进行弱化：所有向量的$x+y$之和是$O(n)$的，并且我们不要求向量只需不相等

如果每个$(i,j)$都满足$i,j\leq m$，那么$\sum\limits_{i\leq m}\sum\limits_{j\leq m}i+j=O(n)$，即$m=O(n^{\frac13})$，所以不同的向量数只有$O(n^{\frac23})$个

所以凸包的大小也是$O(n^{\frac23})$，因为对问题做了三次弱化，所以实际上凸包上的点还会少很多

先求出所有$(i,d'_i\cdot10^x)$的上凸壳和$(i,(d'_i+1)\cdot10^x)$的下凸壳，由上述定理，在两个凸壳上枚举点对的时间复杂度为$O(n^{\frac43})$

最快当然还是在上凸壳枚举点，在下凸壳上的对应点只会单调地移动，时间复杂度$O(n)$

注意涉及到斜率作差时，如果坐标范围为$M$，$eps$一般要开到$\frac1{M^2}$，这个随便找一个极端情况就知道了

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<set>
#include<math.h>
using namespace std;
typedef double du;
const du eps=1e-9;
char s[10010];
int a[10010];
set<int>d;
int go(int x,int y){return(y-x+10)%10;}
int main(){int n,i,j,dd,pw,B,res;du mn,mx;scanf("%s",s);n=strlen(s);for(i=0;i<n-1;i++)d.insert(go(s[i],s[i+1]));if(d.size()<2u){putchar(s[0]);return 0;}#define wa {puts("-1");return 0;}#define s1 *d.begin()#define s2 *d.rbegin()if(d.size()>2u||(go(s1,s2)!=1&&go(s2,s1)!=1))wadd=s2==s1+1?s1:s2;a[0]=s[0]-'0';for(i=1;i<n;i++){a[i]=a[i-1]+dd;if(a[i]%10!=s[i]-'0')a[i]++;if(a[i]%10!=s[i]-'0')wa}mn=0;mx=1e9;for(i=0;i<n-1;i++){for(j=i+1;j<n;j++){mn=max(mn,(a[j]-(a[i]+1)+eps)/(du)(j-i));mx=min(mx,((a[j]+1)-a[i]-eps)/(du)(j-i));}}if(mn>mx)wafor(pw=1;ceil(mn*pw)>floor(mx*pw);pw*=10);B=floor(mx*pw);res=0;for(i=0;i<n;i++)res=max(res,a[i]*pw-B*i);printf("%d",res);
}

转载于:https://www.cnblogs.com/jefflyy/p/9852582.html

[ARC055D]隠された等差数列相关推荐

LeetCode简单题之判断能否形成等差数列
题目给你一个数字数组 arr . 如果一个数列中,任意相邻两项的差总等于同一个常数,那么这个数列就称为等差数列 . 如果可以重新排列数组形成等差数列,请返回 true :否则,返回 false . ...
n个素数构成等差数列
n个素数构成等差数列 Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 128 MB 64bit IO Format: %lld Description 有n个素数(均小于m)可以 ...
BZOJ.1558.[JSOI2009]等差数列(线段树差分)
BZOJ 洛谷首先可以把原序列$A_i$转化成差分序列$B_i$去做. 这样对于区间加一个等差数列$(l,r,a_0,d)$,就可以转化为$B_{l-1}$+=$a_0$,\(B ...
1035等差数列末项计算
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int main() 4 { 5 int a1,a2,an,d,n; 6 cin>> ...
莫队 ---- CF 135D. Jeff and Removing Periods （等差数列预处理 + 莫队）
题目题目大意: 给你一个等差序列,每次查询一段区间[l,r][l,r][l,r]的答案. 显然这是典型的不带修改的区间询问类问题,我们可以考虑用莫队算法去解决. 解题思路: 接下来看怎么递推[l,r ...
等差数列末项_等差数列末项（第n项）公式
点击上方蓝字 · 关注珂珂的小园先思考,再对答案,不会做和没做对的,看视频讲解. 题目 1.如图,从小明家门前有一条路,路边种了一排树,相邻两棵树的间隔都是3米.从小明家到第1棵树要走20米. (1 ...
TYVJ P1091 等差数列 Label：dp
背景广东汕头聿怀初中 Train#3 Problem 3 描述等差数列的定义是一个数列S,它满足了(S[i]-S[i-1]) = d (i>1).显然的一个单独的数字或者两个数字也可以形成一 ...
fibonacci数列前20项_等差数列、等比数列、调和数列等几种常见数列的总结
给大家梳理一下几种常见的数列的定义.通项公式.求和公式以及性质. 斐波那契数列一.等差数列如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差都是定值,则这个数列叫做等差数列,这个定差为公差. 1.等差数列 ...
[再寄小读者之数学篇](2014-11-19 等差数列的部分和)
设 $\sed{a_k}_{k=1}^n$ 为等差数列, 则 $$\bex a_1+\cdots+a_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}. \eex$$ Ref. [Proof Withou ...

[ARC055D]隠された等差数列

[ARC055D]隠された等差数列相关推荐

最新文章

热门文章