莫队 ---- CF 135D. Jeff and Removing Periods （等差数列预处理 + 莫队）

题目

题目大意：

给你一个等差序列，每次查询一段区间[l,r][l,r][l,r]的答案。显然这是典型的不带修改的区间询问类问题，我们可以考虑用莫队算法去解决。

解题思路：

接下来看怎么递推[l,r][l,r][l,r]到[l−1,r][l-1,r][l−1,r]，[l,r+1][l,r+1][l,r+1]的关系

首先对区间的询问是：每次任选aia_iai,kkk，把aiaiai删掉，如ai+k==aia_{i+k}==a_{i}ai+k==ai则一直删下去，也就是把值相等，且下标形成等差数列的一列数删掉，余下的数重新排列。

问你删除完整个数列的最少操作数

显然，第一次删掉后重排的话，我们肯定可以把所有数排成公差为1的一个个等差数列。

所以其实询问的意思就是： 如果第一次能找到一个数值，其所有出现的数的下标都形成等差数列（可以一次性删除），那么之后的操作步数实际就是数值的种类数-1+1。
因此答案是总种类数；
如果第一次找不到一个数满足所有出现的数的下标都形成等差数列则答案就是总的种类数+1
转移的话，需要预处理两个数组， fl[i]和fr[i]，fl[i]表示i位置往左找，第一个使得a[i]a[i]a[i]不满足等差数列的位置，fr同理。

根据以下递推式：

inline void init() {for(int i = 1; i <= n; ++ i) {int p = arr[i];mp[p] = 1;pre[i] = last[p]; // 前驱last[p] = i;if(pre[i] - pre[pre[i]] == i - pre[i] || pre[pre[i]] == 0)fl[i] = fl[pre[i]];else fl[i] = pre[pre[i]];}for(auto it : mp) last[it.first] = n + 1;fr[n+1] = n+1;bak[0] = n+1;bak[n+1] = n+1;for(int i = n; i >= 1; -- i) {int p = arr[i];bak[i] = last[p]; // 后继last[p] = i;if(bak[bak[i]] - bak[i] == bak[i] - i || bak[bak[i]] == n + 1) fr[i] = fr[bak[i]];else fr[i] = bak[bak[i]];}
}

预处理完后，
按照莫队算法，如果上一次区间为[l,r][l,r][l,r]，那么下一次要add一个数的话，
如果AddAddAdd的数第一次出现，则kind++, 且num_dengcha++

否则，看该数的加入是否会导致 num_dengcha减少。

即：if(fl[i]>=x&&fl[pre[i]]<x) dengcha–; 之前是等差，现在不是等差

如果是SubSubSub的话，

如果这个数只有一个，则显然kind–，num_dengcha–;

否则，看该数的减少会不会导致 num_dengcha的增加

即：if (fr[bak[i]]>R&&fr[i]<=R) dengcha++;

好了，接下来按照套路写莫队就好了

AC code

#include <bits/stdc++.h>
#define mid ((l + r) >> 1)
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define f first
#define s second
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10, mod = 1e9 + 9;
const int maxn = 500010;
const long double eps = 1e-5;
const int EPS = 500 * 500;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
typedef pair<double,double> PDD;
template<typename T> void read(T &x) {x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args) {read(first);read(args...);
}
int n, m, arr[maxn];
int fl[maxn], fr[maxn];
int pre[maxn], bak[maxn], last[maxn];
unordered_map<int,bool> mp;
inline void init() {for(int i = 1; i <= n; ++ i) {int p = arr[i];mp[p] = 1;pre[i] = last[p];last[p] = i;if(pre[i] - pre[pre[i]] == i - pre[i] || pre[pre[i]] == 0)fl[i] = fl[pre[i]];else fl[i] = pre[pre[i]];}for(auto it : mp) last[it.first] = n + 1;fr[n+1] = n+1;bak[0] = n+1;bak[n+1] = n+1;for(int i = n; i >= 1; -- i) {int p = arr[i];bak[i] = last[p];last[p] = i;if(bak[bak[i]] - bak[i] == bak[i] - i || bak[bak[i]] == n + 1) fr[i] = fr[bak[i]];else fr[i] = bak[bak[i]];}// for(int i = 1; i <= n; ++ i)//   cout << fl[i] << " \n"[i == n];// for(int i = 1; i <= n; ++ i)//   cout << pre[i] << " \n"[i == n];// for(int i = 1; i <= n; ++ i) //   cout << fr[i] << " \n"[i == n];// for(int i = 1; i <= n; ++ i)//   cout << bak[i] << " \n"[i == n];
}struct node {int l, r, id;int b;
}q[maxn];bool cmp1(node x,node y) {return x.b^y.b?x.b<y.b:x.b&1?x.r<y.r:x.r>y.r;
}
int ans[maxn], res = 0, is;
int cnt[maxn];
inline void Add(int u, bool lorr, int i) {if(++ cnt[arr[u]] == 1) res ++, is ++;else {if(lorr) {// 这是判断是左右指针哪个在移动if(fr[bak[u]] > i && fr[u] <= i) is --; //之前是等差，现在不是等差, } else {if(fl[pre[u]] < i && fl[u] >= i) is --;}}
}inline void Sub(int u, bool lorr, int i) {if(-- cnt[arr[u]] == 0) res --, is --;else {if(lorr) {// 这是判断是左右指针哪个在移动if(fr[bak[u]] > i && fr[u] <= i) is ++;} else {if(fl[pre[u]] < i && fl[u] >= i) is ++;}}
}int main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n;int block = 500;for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> arr[i];init();cin >> m;for(int i = 1; i <= m; ++ i) {int l, r;cin >> l >> r;q[i] = {l,r,i,(l-1)/block+1};}sort(q+1,q+1+m,cmp1);int l = 1, r = 0;for(int i = 1; i <= m; ++ i) {while(q[i].l < l) Add(--l,1,r);// 上个区间的rwhile(q[i].r > r) Add(++r,0,l);// 上个区间的lwhile(q[i].l > l) Sub(l++,1,r);while(q[i].r < r) Sub(r--,0,l);ans[q[i].id] = res - (is!=0) + 1;}for(int i = 1; i <= m; ++ i) cout << ans[i] << "\n";return 0;
}
/*
10
2 1 3 3 3 3 1 3 1 1
1
4 8
*/