一般哈达玛矩阵、沃尔什矩阵及CC哈达玛矩阵的生成

最近看了一篇文章《Image quality of compressive single-pixel imaging using different Hadamard orderings》，不同的哈达玛排列方式可以实现更低采样率的重建。

文章验证了这四种哈达玛排列形式在低采样率下的重建结果，（b）和（d）其实是一种排列形式，只是分别表示低频和高频。下图展示结果：

验证结果是在低采样率的条件下C的重建效果最好，b次之，最原始的哈达玛排列效果更差一些。b和c其实也是在之前的两篇文章 1-《An Improved Hadamard Measurement Matrix Based on Walsh Code For Compressive Sensing》和 2-《Super sub-Nyquist single-pixel imaging by means of cake-cutting Hadamard basis sort》中介绍的两种方法。

哈达玛矩阵在matlab里可以通过函数 hadamard 直接生成。walsh矩阵和’切蛋糕‘（cake-cutting）矩阵其实都可以在原始哈达玛矩阵的基础上调换行顺序得到。关于walsh-hadamard矩阵的生成，网上只是能找到关于理论的部分，很复杂。在文章 1 里边作者提供了生成沃尔什矩阵的简单方法：

就是先根据所要生成矩阵的大小，确定格雷码位数，要生成的walsh矩阵的每一行，要把格雷码倒序排列，转换成十进制数，那么哈达玛矩阵的这一行就是对应walsh矩阵的行。按文章中的例子，生成8×8大小的walsh矩阵，对应格雷码位数为3，那么walsh矩阵的第一行，对应格雷码（001），倒序排列之后为（100）对应十进制的 4 ，那么walsh矩阵的第一行就是同样大小哈达玛矩阵的第4 行，依次类推即可。下边为matlab程序：

function w=walsh(m)
N=log2(m);
x=hadamard(m);
walsh=zeros(m);
graycode=gen_gray_code(N);
nh1=zeros(m,N);for i=1:mq=graycode(i,:);nh=0;for j=N:-1:1nh1(i,j) =q(j)*2^(j-1);endnh=sum(nh1(i,:));walsh(i,:)=x(nh+1,:);end
w=walsh;
end

其中的有一个生成格雷码的函数：

function gray_code=gen_gray_code(N)
sub_gray=[0;1];
for n=2:Ntop_gray=[zeros(1,2^(n-1))' sub_gray];bottom_gray=[ones(1,2^(n-1))' sub_gray];bottom_gray=bottom_gray(end:-1:1,:);sub_gray=[top_gray;bottom_gray];
end
gray_code=sub_gray;
end

第二篇文章介绍的‘切蛋糕’哈达玛矩阵，作者发现，如果哈达玛矩阵中包含的连接区域（蛋糕块）越少，其对应的测量值可能更高，因此会包含更多的信息。所以作者的思路是先把大的哈达玛矩阵的每一行拿出来重新排列为方阵，再根据每一个方阵所包含连接区域的多少由小到大进行排列，根据这个顺序将哈达玛矩阵的每一行重新排列即可得到cake-cutting哈达玛矩阵了。

下边是程序：

function ch=cchdm(m)
N=log2(m);
x=hadamard(m);
a=sqrt(m);b=a;
cchdmm=zeros(m);
for i=1:mrow=reshape(x(i,:),[a,b]);num1=0;num2=0;for j=1:a-1if row(1,j)~= row(1,j+1);num1=num1+1;endif row(j,1)~=row(j+1,1)num2=num2+1;endnum(i)=(num1+1)*(num2+1);  end
end[B,index]=sort(num);for k=1:mcchdmm(k,:)=x(index(k),:);
end
ch=cchdmm;
end

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