经典算法问题-01-八皇后

#八皇后问题
###问题描述：
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
###简化问题：
由于八皇后问题的正确答案为92种排列方案，由于正确的棋子放置方式实在太多，难以一一列举，所以先简化问题，解决四皇后的排列，即将8×8棋局改为4×4棋局，规则不变
###建立模型：
要使用C++解决这个问题，首先要建立模型，让问题能够使用数学和C++的控制语句来解决。
将棋盘模拟为一个坐标轴，使用一个数组index将每个棋子定位到坐标轴中，index数组的下标为横坐标值，index[i]的值为纵坐标值，如下图所示，index[0] = 1 ; index[1] = 4 ; index[2] = 2 ; index[3] = 3

#方案1----枚举法：
将所有可能的棋子放置情况全部列举出来，一一判断是否合乎条件
###C++程序：

#include<iostream>
using namespace std;//判断棋子放置方式是否正确
bool Judge(int *index) {for (int i = 0; i < 4; i++){for (int j = i + 1 ; j < 4; j++) {//判断棋子是否在同一行，或某一对角线上//1，横坐标不同      i与j不相等//2，纵坐标不同      index[i]与index[j]不相等//3，不在同一对角线  index[i]- index[j]的绝对值和j-i的绝对值不相等if (index[i] == index[j] || abs(index[i]- index[j])==j-i){return false;}}}return true;
}//打印正确的棋子放置方式
void Sloution(int *index) {cout << "四皇后问题的一种正确解法，横坐标从0到4的4列上，纵坐标的值依次是:";for (int i = 0; i < 4; i++){cout << index[i];}cout << endl;
}int main() {int index[8];//多层循环，穷举每一种放置方式for (index[0] = 1; index[0] <= 4 ; index[0]++){for (index[1] = 1; index[1] <= 4; index[1]++) {for (index[2] = 1; index[2] <= 4; index[2]++) {for (index[3] = 1; index[3] <= 4; index[3]++) {//判断棋子放置是否合乎规则，正确则打印，不正确则继续if (Judge(index)){Sloution(index);}else {continue;}}}}}cin.get();return 0;}

上述程序使用了4个for循环来模拟所有可能出现的棋子放置情况，Judge（）方法用来判断是否合乎条件

###运行结果：

###正确结果的演示：
纵坐标：2413

纵坐标：3142

##枚举法的优化：
枚举法解决此四皇后问题需要的循环次数太多，四皇后需要4X4X4X4次遍历，才能将所有可能的情况列举出来，八皇后更是要8X8X8X8X8X8X8X8次遍历
枚举法可以进行优化，即若在放置第2，或3个棋子，即没有将棋子全部放入棋盘中时，进行判断，将不符合要求的情况直接排除，不再继续循环，这样能够大大减少循环次数，不必模拟所有棋子放置方式
优化方式：在main方法中做优化，增加判断语句

int main() {int index[8];//多层循环，穷举每一种放置方式for (index[0] = 1; index[0] <= 4; index[0]++) {for (index[1] = 1; index[1] <= 4; index[1]++) {//增加判断if(Judge(index, 2))for (index[2] = 1; index[2] <= 4; index[2]++) {//增加判断if (Judge(index, 3))for (index[3] = 1; index[3] <= 4; index[3]++) {//判断棋子放置是否合乎规则，正确则打印，不正确则继续if (Judge(index, 4)) {Sloution(index);}else {continue;}}}}}cin.get();return 0;
}

#方案2----回溯法：
main函数：


int main() {int index[4] = { 0 };int i = 0;while (i > -1) {index[i]++;while (index[i] < 6 && _judge(index, i)) {index[i]++;}if (index[i] <= 4) {if (i == 3) {//是四皇后的正确结果，调用函数打印正确答案result(index);}else {i++;index[i] = 0;}}else {i--;}}cin.get();return 0;
}

_judge函数：

inline bool _judge(int *index, int num) {for (int i = 0; i < num; i++) {if (index[i] == index[num] || abs(index[i] - index[num]) == num - i) {return true;}}return false;}

result函数：

inline void result(int *index) {cout << "四皇后问题的一种正确解法，横坐标从0到4的4列上，纵坐标的值依次是:";for (int i = 0; i < 4; i++) {cout << index[i];}cout << endl;
}

##使用递归优化程序：
上述程序太难懂，可以使用递归优化上述程序，如下：
result函数和_judge函数不变
回调函数：

void callback(int *index,int i) {if (i > 3){result(index);}else{int j = 0;while (++j <= 4) {index[i] = j;if (_judge(index, i) == 0) {callback(index,i+1);}}}
}

main函数：

int main() {int index[4] = { 0,0,0,0 };int i = 0;callback(index,i);cin.get();return 0;
}

#方案3----回溯法结合递归和栈数据结构
在严蔚敏编著的C语言数据结构栈数据结构部分，书中提及使用栈解决四皇后问题

栈数据结构解决和回溯相关的问题时非常的方便易懂，下面介绍一下使用栈解决四皇后问题，这是本文最简单易懂的方法，但是需要实现编写栈数据结构，当然也可以使用STL中的栈

#include "assist.h"
#include"Stack.h"
#include<iostream>
//创建一个全局栈
Stack<int> stack(11);
//回调函数
void callback() {if (stack.getSize() == 3) {cout << "正确答案" << endl;stack.Print();}else {int j = 0;while (++j <= 4){//进栈stack.Push(j);if (_judge( stack.getElements(), stack.getSize()) == 0) {//打印整个栈中的数据stack.Print();cout << stack.getSize() << endl;callback();}//弹栈stack.Pop();}}
}int main() {callback();cin.get();return 0;
}

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