数据包络分析--SBM模型(第一篇)
数据包络分析--SBM Model
- DEA--SBM model
- 扩充知识--radial and non-radial
- SBM model
- 模型解释1
- 模型解释2
- 变型
- 对偶模型
- SBM-efficiency
- SBM projection
- SBM 与CCR
- 作者有话说
DEA–SBM model
扩充知识–radial and non-radial
这里,我们先介绍一个知识,径向与非径向。这两个概念的区别只存在于投入与产出项,看它们是否能按一个比例进行放缩。如果能的话,这个模型便是径向的;反之,则是非径向的。
比如说,在第一章中所介绍的CCR模型,其模型可表示为(用基于输入向的包络型):
可以看到x0是通过与theta进行乘积来实现压缩(theta小于等于0),这说明投入项可以按照一个比例进行乘积,因此CCR模型是径向模型。
CCR是径向模型,相似地,BCC模型也是径向的。
而在第三章学过的Additive model是非径向模型,它的投入与产出并没有按比例进行放缩:
而我们接下去要学习的SBM也是一个非径向(non-radial)模型。
SBM model
先放出SBM模型的公式:
模型解释1
- 我们假设模型中的投入全部是非负,即X≥0。
- 如果投入X出现零时,即X_i0=0,那么就删掉目标函数中的这一项值。
- 至于出现y≤0时,就用一个很小的数去进行替换这一项值,以此来作为惩罚项。
(但是其实对于y的处理存在很大的争议,有些学者认为如果非正就用一个很小的数去代替的话,那么该用多小的数,并且不同程度的负值怎么体现等问题就紧接出现)
模型解释2
根据上述对模型变量的处理,还有所有松弛变量都是非负的,接下来对模型的目标函数进行解析:
根据约束条件,我们可以得到,从而分子部分。又分母部分一定是大于等于1的,这样就可以得出这个结论:。
变型
这一个部分与第一张CCR变型类似。都是将分母部分令为t:
重新设定变量:
这样就可以把一个分式模型变成一个线性模型:
对偶模型
这里对偶模型不再详细展开,直接放模型两种形式的公式:
SBM-efficiency
SBM模型有效,当且仅当目标函数ρ^*=1。其实也就是所有的松弛为零。
SBM projection
SBM的投影与加性模型一致,最重要的就是在等式中保留与λ相关的那一部分,其他的全部移向等式另一边:
那么此时这个新的是SBM有效的。
SBM 与CCR
因为本章节用的SBM模型是规模报酬不变的,因此与CCR进行比较(而不是BCC)。
我们从SBM模型出发,在其达到最优值时,对其约束条件向CCR模型转换:
此时重新规定松弛变量:
这一步,比起原SBM模型来说,多出了一个限制条件。那么在同是求目标函数最小值的情况下,限制条件越多越难取得更小的值。那么CCR模型的条件更多,SBM的更少,因此:
作者有话说
内心独白:我的排版真的好丑,一定要赶紧去学习latex,丑到受不了。先就这样吧,SBM内容可太多了,有空再来!写谱聚类作业去咯!!!
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