线性空间----【1】n维向量的线性相关
这里写目录标题
- 一,n维向量的线性相关
- 1,简介
- 2,公式:
- 3,线性组合,线性表出,表出系数
- 4,向量组之间等价
- 5,线性相关与线性无关的判别
一,n维向量的线性相关
1,简介
设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组(a1,a2,…,an)称为P上的n维向量
n维向量可以写成行行式称为行向量
α=(a1,a2,a3,a4…,an)
n维向量也可以写成列行式称为列向量
P上全体n维向量构成的集合记为P^n,
P^n中两个n维向量相等是指它们的相应分量完全相同
- 这里α称为n维向量(简称向量)
- 第i(i=1,2,3,4…n)个数ai称为α的第i个分量
- n个分量都为实数的向量称为实向量
- 若α为行向量则α的转置为列向量
- 将分量全为0的向量(0,0,0…0)称为零向量并记为0
- 将若干个维数相同的向量所组成的集合称为向量组
- 将向量组中一部分向量组成的向量组称为原向量组的部分组
- 按列分块的向量组称为列向量组
- 按行分块的向量组称为行向量组
2,公式:
- 1,α+β=β+α
- 2,(α+β)+γ=α+(β+γ)
- 3,对于任意的 α∈P^n均有α+0=α
- 4,对于任意的α∈P^n均存在负向量-α,使得α+(-α)=0
- 5,1α=α
- 6,数乘结合律:kh(α)=k(hα)
- 7,(k+l)α=kα+lα
- 8,k(α+β)=kα+kβ
其中α,β,γ∈P^n,k,h,l∈R
3,线性组合,线性表出,表出系数
设β,α1,α2,α3…αn∈P^n
如果存在数k1,k2,k3…kn∈R
使得β=k1α1+k2α2+k3α3…+knαn
则称向量β是向量组α1,α2,α3…αn的线性组合,或者说向量β由向量组α1,α2,α3…αn 线性表出
而k1,k2,k3…kn则为表出系数或者组合系数
4,向量组之间等价
设有两个向量组
(Ⅰ):α1,α2,……,αm;
(Ⅱ):β1,β2,……,βm;
如果(Ⅰ)中每个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示,则称(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示;如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互线性表示,则称(Ⅰ)与(Ⅱ)等价,记为(Ⅰ)≌(Ⅱ)。
- 反身性:任何向量组Ⅰ:α1,α2,……,αm均与本身等价,例(α1,α2,……,αm)≌(α1,α2,……,αm)
- 对称性:如果向量组Ⅰ:α1,α2,……,αm与向量组Ⅱ:β1,β2,……,βm等价,那么向量组Ⅱ与向量组Ⅰ也等价,例(α1,α2,……,αm)≌(β1,β2,……,βm),(β1,β2,……,βm)≌(α1,α2,……,αm)
- 传递性:例(α1,α2,……,αm)≌(β1,β2,……,βm),(β1,β2,……,βm)≌(γm,γm,…,γm),则(α1,α2,……,αm)≌(γm,γm,…,γm)
5,线性相关与线性无关的判别
(1),线性相关:存在一组不全为0的数k1,k2,k3…kn使得k1α1+k2α2+k3α3…+knαn=0
(2),线性无关:找不到一组不全为0的k1…kn值成立也就是说k1…kn必全为0
- 定义1:向量组中的两向量成比例(线性相关)
例:-1*(1 2)+1/2*(2 4)+0*(5 19)+0*(-1 99)=0 - 定义2:含零向量的任意向量组必线性相关
- 定义3:一个零向量必线性相关
例:1*0=0 - 定义4:一个非零向量必线性无关,α不等于0,kα=0,=>k=0
- 定义5:一个向量线性相关的充要条件,α=0;
- 定义6:如果向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一部分线性相关则这个向量组Ⅰ就线性相关
- 定义7:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn(n>=2)线性相关的充要条件是向量组Ⅰ中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出
- 定义8:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一个部分线性相关,那么这个向量组Ⅰ线性相关
- 定义9:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn线性无关,那么这个向量组Ⅰ的任意一个部分线性无关
- 定义10:当向量组所含向量的个数多于向量的维数时,该向量组一定线性相关;
- 定义11:n个n维向量组成的行列式D不等于0的充分必要条件是向量组线性无关,D等于0的充分必要条件为方程组线性相关
- 定义12:等价的线性无关的向量组含向量个数相同
- 定义13:如果向量组α1,α2,α3,…αn线性无关,而向量组α1,α2,α3…αn,β,则β可以由向量组α1,α2,α3,…αn**线性表出,并且表示法唯一
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