实对称矩阵的基本性质

设AAA为n×nn\times nn×n实对称矩阵，则

AAA的特征值都是实数；
不同特征值对应的特征向量相互正交；
AAA可对角化，即存在一个正交阵（orthogonal matrix）XXX（即X’X=I）和一个对角阵Λ=diag{λ1,…,λ2}\Lambda=\text{diag}\{\lambda_1,\ldots,\lambda_2\}Λ=diag{λ1,…,λ2}，使得X′AX=ΛX'AX=\LambdaX′AX=Λ；
∣A∣=∏i=1nλi\vert A\vert=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i∣A∣=i=1∏nλi；
tr(A)=∑i=1nλi\text{tr}(A)=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_itr(A)=i=1∑nλi。

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