【概率论与数理统计】1.1 随机事件及其运算

【配套教材】概率论与数理统计教程（第三版）——茆诗松

1.1.1 随机现象

随机现象：在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

例如：掷一颗骰子，结果不止一个，哪一个结果出现，人们事先也不知道。

确定性现象：只有一个结果的现象称为确定性现象。

例如：太阳从东方升起，水往低处流，异性电荷相吸等等。

随机试验：对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、试验称为随机试验。

1.1.2 样本空间

样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω\OmegaΩ = { ω\omegaω }，其中 ω\omegaω 表示基本结果，又称为样本点，样本点是今后抽样的最基本单元。

例如，抛一枚硬币的样本空间为Ω1\Omega_1Ω1 = { ω1，ω2\omega_1，\omega_2ω1，ω2}，其中ω1\omega_1ω1表示正面朝上，ω2\omega_2ω2表示反面朝上。

注意：

（1）样本空间中的元素可以是数也可以不是数。

（2）随机现象的样本空间至少有两个样本点，如果将确定性现象放在一起考虑，则含有一个样本点的样本空间对应的为确定性现象。

（3）按样本点的个数可分为离散样本空间与连续样本空间。

1.1.3 随机事件

随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母表示。
维恩（Venn）图：在概率论中常用一个长方形表示样本空间Ω\OmegaΩ，用其中一个圆或者其他几何图形表示事件，这类图形称为维恩（Venn）图。

注意：

由样本空间Ω\OmegaΩ中的单个元素组成的子集称为基本事件，而样本空间Ω\OmegaΩ的最大子集（即Ω\OmegaΩ本身）称为必然事件，样本空间Ω\OmegaΩ的最小子集（即空集∅\varnothing∅）称为不可能事件。

1.1.4 随机变量

随机变量：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量。

1.1.5 事件间的关系

包含关系

如果属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中（如图1），或称B包含A，记为A⊂\subset⊂B，或B⊃\supset⊃A。用概率论的语言说：事件A发生必然导致事件B发生。

例如，掷一颗骰子，事件A=“出现4点”，事件B=“出现偶数点”，事件A的发生必然导致事件B的发生，故A⊂\subset⊂B。

图1 包含关系

相等关系

如果事件A与事件B满足：属于A的样本点必属于B，而且属于B的样本点必属于A，即A⊂\subset⊂B且B⊂\subset⊂A，则称事件A与B相等，记为A=B。

例如，掷两颗骰子，以A记事件“两颗骰子的点数之和为奇数”，以B记事件“两颗骰子的点数为一奇一偶”。很容易证明：A发生必然导致B发生，而且B发生也必然导致A发生，所以A=B。

互不相容

如果A与B没有相同的样本点（如图2），则称A与B互不相容。用概率论的语言说：A与B互不相容就是事件A与事件B不可能同时发生。

例如，在电视机寿命试验中，“寿命小于1万小时”与“寿命大于5万小时”是两个互不相容的事件，因为它们不可能同时发生。

图2 互不相容

1.1.6 事件间的运算

事件A与B的并

记为A∪\cup∪B，事件A与B中至少有一个发生（如图3左）。

例如，在掷一颗骰子的试验中，记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}，记事件B=“出现的点数不超过3”={1,2,3}，则A与B的并为A∪\cup∪B={1,2,3,5}。

事件A与B的交

记为A∩\cap∩B，事件A与B同时发生（如图3右）。

例如，在掷一颗骰子的试验中，记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}，记事件B=“出现的点数不超过3”={1,2,3}，则A与B的交为A∩\cap∩B={1,3}。

图3 并与交

事件A对B的差

记为A-B，事件A发生而B不发生（如图4）。

例如，在掷一颗骰子的试验中，记事件A=“出现奇数点”={1,3,5}，记事件B=“出现的点数不超过3”={1,2,3}，则A与B的交为A-B={5}。

图4 差

对立事件

事件A的对立事件，记为A‾\overline{A}A，也就是A不发生，即A‾=Ω−A\overline{A}=\Omega-AA=Ω−A。

例如，在掷一颗骰子的试验中，事件A=“出现奇数点”={1,3,5}的对立事件是A‾\overline{A}A={2,4,6}。

注意：

（1）对立事件一定是互不相容的事件，即A∩A‾=∅A\cap\overline{A}=\varnothingA∩A=∅。但互不相容的事件不一定是对立事件。

（2）A−BA-BA−B可以记为AB‾A\overline{B}AB。

事件的运算性质

（1）交换律
A∪B=B∪A，AB=BAA \cup B = B \cup A，AB=BA A∪B=B∪A，AB=BA
（2）结合律
（A∪B）∪C=A∪(B∪C)（A \cup B）\cup C = A \cup (B \cup C) （A∪B）∪C=A∪(B∪C)
(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC)

（3）分配律
(A∪B)∩C=AC∪BC(A \cup B)\cap C=AC \cup BC (A∪B)∩C=AC∪BC

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A \cap B)\cup C=(A \cup C)\cap(B \cup C) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

（4）对偶律（德摩根公式）
A∪B‾=A‾∩B‾,A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}, \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B} A∪B=A∩B,A∩B=A∪B

1.1.7 事件域

设Ω\OmegaΩ为一样本空间，F\mathcal{F}F为Ω\OmegaΩ的某些子集所组成的集合类。如果F\mathcal{F}F满足：

（1）Ω∈F\Omega\in\mathcal{F}Ω∈F；

（2）若A∈FA\in\mathcal{F}A∈F，则对立事件A‾∈F\overline{A}\in\mathcal{F}A∈F；

（3）若An∈FA_n\in\mathcal{F}An∈F，n=1,2，...n=1,2，...n=1,2，...，则可列并⋃n=1∞An∈F\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{F}⋃n=1∞An∈F

则称F\mathcal{F}F为一个事件域，又称为σ\sigmaσ域或σ\sigmaσ代数。

在概率论中，又称（Ω，F\Omega，\mathcal{F}Ω，F）为可测空间。

例如，若样本空间只含有两个样本点Ω\OmegaΩ={ ω1，ω2\omega_1， \omega_2ω1，ω2 }，记AAA={ ω1\omega_1ω1 }，A‾\overline{A}A={ ω2\omega_2ω2 }，则其事件域为F\mathcal{F}F=
{ ∅，A，A‾，Ω\varnothing，A，\overline{A}，\Omega∅，A，A，Ω }。